5. 用乘法公式计算：
（1）$1001^{2}$；
（2）$2024^{2}-2023×2025$.

（1）
$\begin{aligned}原式=(1000 + 1)^{2} \\= 1000^{2} + 2 × 1000 × 1 + 1^{2} \\= 1000000 + 2000 + 1 \\= 1002001\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}原式=2024^{2} - (2024 - 1)(2024 + 1) \\= 2024^{2} - (2024^{2} - 1) \\= 2024^{2} - 2024^{2} + 1 \\= 1\end{aligned}$

【分析】
对于（1），观察到1001可拆分为1000+1，恰好匹配完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的形式，将1001转化为1000+1后，代入公式展开计算，能大幅简化大数平方的运算。
对于（2），发现2023=2024-1，2025=2024+1，因此2023×2025可写成$(2024-1)(2024+1)$，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，先利用平方差公式计算乘法部分，再进行整式加减运算，可避免复杂的大数乘法。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}原式=(1000 + 1)^{2} \\= 1000^{2} + 2 × 1000 × 1 + 1^{2} \\= 1000000 + 2000 + 1 \\= 1002001\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}原式=2024^{2} - (2024 - 1)(2024 + 1) \\= 2024^{2} - (2024^{2} - 1) \\= 2024^{2} - 2024^{2} + 1 \\= 1\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{1002001}$；（2）$\boldsymbol{1}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题核心考查乘法公式的灵活应用，通过对数字进行合理变形，使其契合公式结构，能有效简化大数运算，降低计算难度，提升运算的准确性与效率，需熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征。
【难度系数】
0.8

6. 课本“8.4 乘法公式”中，公式$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$是由公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$推导得出的. 该推导过程是：$(a-b)^{2}=[a+(-b)]^{2}=a^{2}+2· a· (-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$. 已知$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$，请用类似方法推导出$(a-b)^{3}$的计算结果.

$(a-b)^{3}=[a+(-b)]^{3}$
$=a^{3}+3a^{2}(-b)+3a(-b)^{2}+(-b)^{3}$
$=a^{3}-3a^{2}b + 3ab^{2}-b^{3}$

【分析】
要推导$(a-b)^3$的计算结果，我们可以类比推导$(a-b)^2$的方法：先将$(a-b)$转化为$[a+(-b)]$，把$-b$看作一个整体，代入已知的$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$公式中，再根据幂的运算性质化简每一项，最终得到$(a-b)^3$的展开式。具体思路为：第一步完成形式转化，第二步代入公式展开，第三步化简各项的符号与乘方运算。
【解析】
$\begin{aligned}(a-b)^{3}&=[a+(-b)]^{3}\\&=a^{3}+3a^{2}(-b)+3a(-b)^{2}+(-b)^{3}\\&=a^{3}-3a^{2}b + 3ab^{2}-b^{3}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b + 3ab^{2}-b^{3}}$
【知识点】
完全立方公式推导、整体代换思想、幂的符号运算
【点评】
本题类比完全平方公式的推导思路，考查完全立方公式的推导能力，核心体现了整体代换的数学思想，要求学生能将未知的$(a-b)^3$转化为已知的$(a+b)^3$形式计算，着重培养知识迁移与类比推理的能力。
【难度系数】
0.7

7. (1)计算：① $53×57=$；② $38×32=$；③ $84×86=$；④ $71×79=$.
(2)观察第(1)小题每个等式中的两个因数与积的特征，尝试借助字母和符号将该特征表示出来.
(3)用本章所学知识解释第(2)小题的结论.
(4)口算：① $58×52=$；② $63×67=$；③ $95^{2}=$.

(1)① 3021；② 1216；③ 7224；④ 5609.
(2)设两个因数的十位数字为$a$，个位数字分别为$b$和$c$，且$b + c=10$，则$(10a + b)(10a + c)=100a(a + 1)+bc$.
(3) $(10a + b)(10a + c)=100a^{2}+10a(b + c)+bc$，因为$b + c = 10$，所以$10a(b + c)=100a$，则原式$=100a^{2}+100a + bc=100a(a + 1)+bc$.
(4)① 3016；② 4221；③ 9025.

【分析】
1. 第(1)问：直接运用两位数乘两位数的计算法则，分别计算出每道算式的结果即可。
2. 第(2)问：观察第(1)问的算式，发现两个因数的十位数字相同，个位数字之和为10；设十位数字为$a$，个位数字分别为$b$和$c$（$b+c=10$），用字母表示出因数和积的关系即可。
3. 第(3)问：利用多项式乘多项式的运算法则展开$(10a+b)(10a+c)$，再代入$b+c=10$进行化简，即可验证总结的规律。
4. 第(4)问：运用第(2)问总结的规律，直接口算得出结果，即先计算十位数字$a$与$a+1$的乘积作为前几位，再计算个位数字的乘积作为后两位，组合起来就是最终结果。
【解析】
(1) 计算：
① $53×57=(50+3)(50+7)=50^2 + 50×7 + 3×50 + 3×7=2500+350+150+21=3021$；
② $38×32=(30+8)(30+2)=30^2 + 30×2 + 8×30 + 8×2=900+60+240+16=1216$；
③ $84×86=(80+4)(80+6)=80^2 + 80×6 + 4×80 + 4×6=6400+480+320+24=7224$；
④ $71×79=(70+1)(70+9)=70^2 + 70×9 + 1×70 + 1×9=4900+630+70+9=5609$。
(2) 观察特征：两个因数的十位数字相同，个位数字之和为10。
设两个因数的十位数字为$a$，个位数字分别为$b$和$c$，且$b + c=10$，则规律可表示为：$(10a + b)(10a + c)=100a(a + 1)+bc$。
(3) 推导验证：
根据多项式乘多项式法则，展开左边得：
$(10a + b)(10a + c)=100a^2 + 10ac + 10ab + bc=100a^2 + 10a(b + c) + bc$，
因为$b + c=10$，将其代入上式：
$100a^2 + 10a×10 + bc=100a^2 + 100a + bc=100a(a + 1)+bc$，
所以$(10a + b)(10a + c)=100a(a + 1)+bc$成立。
(4) 利用规律口算：
① $58×52$：十位数字$a=5$，$5×(5+1)=30$，个位数字$8×2=16$，故结果为$3016$；
② $63×67$：十位数字$a=6$，$6×(6+1)=42$，个位数字$3×7=21$，故结果为$4221$；
③ $95^2=95×95$：十位数字$a=9$，$9×(9+1)=90$，个位数字$5×5=25$，故结果为$9025$。
【答案】
(1)① $3021$；② $1216$；③ $7224$；④ $5609$
(2) 设两个因数的十位数字为$a$，个位数字分别为$b$和$c$，且$b + c=10$，则$(10a + b)(10a + c)=100a(a + 1)+bc$
(3) 推导过程如解析所示
(4)① $3016$；② $4221$；③ $9025$
【知识点】
多项式乘多项式，数字规律探究，有理数乘法
【点评】
本题通过“计算—观察归纳—推导验证—应用”的完整流程，考查了数字规律的探究能力和多项式乘法的运算能力，既巩固了整式乘法的基础知识，又培养了从具体实例中抽象出一般规律的思维，同时利用规律可简化同类型的乘法计算，提升运算效率。
【难度系数】
0.6