5. 一根弹簧原长 $ 13cm $，所挂物体的质量不得超过 $ 16kg $，并且每挂 $ 1kg $ 就伸长 $ 0.5cm $，所挂物体质量 $ x(kg) $ 与弹簧的长度 $ y(cm) $ 的关系式为(不考虑 $ x $ 的取值范围)。当所挂物体的质量为 $ 10kg $ 时，弹簧的长度为 $ cm $。

5. $y = 13 + 0.5x$ 18

【分析】
首先，我们要明确弹簧的长度由原长和挂物体后伸长的长度两部分组成。已知弹簧原长13cm，每挂1kg物体伸长0.5cm，那么挂质量为xkg的物体时，伸长的长度就是0.5x cm，弹簧总长度y等于原长加上伸长的长度，由此可推导出y与x的关系式。当物体质量为10kg时，将x=10代入关系式，即可计算出弹簧的长度。
【解析】
1. 推导所挂物体质量与弹簧长度的关系式：
弹簧原长为13cm，每挂1kg物体伸长0.5cm，挂xkg物体时，伸长的长度为$0.5x$ cm，因此弹簧总长度$y = 13 + 0.5x$。
2. 计算当所挂物体质量为10kg时的弹簧长度：
将$x=10$代入$y = 13 + 0.5x$，可得：
$y = 13 + 0.5×10 = 13 + 5 = 18$（cm）
【答案】
$y = 13 + 0.5x$；18
【知识点】
一次函数的实际应用；代数式求值
【点评】
本题考查一次函数在实际生活中的应用，重点在于理解弹簧长度的构成，掌握从实际问题中抽象出函数关系式的方法，以及代入求值的基本运算，属于基础题型，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8

6. 如图所示，长方体的底面是一个边长为 $ 10cm $ 的正方形，它的高变化时，体积也随着变化。
(1)在这个变化中，自变量、因变量分别是、。
(2)若高为 $ h(cm) $ 时，体积为 $ V(cm^{3}) $，则 $ V $ 与 $ h $ 之间的关系式为。
(3)当高为 $ 5cm $ 时，体积是 $ cm^{3} $。
(4)当高由 $ 1cm $ 变化到 $ 10cm $ 时，它的体积由变化到。

6. (1)长方体的高，长方体的体积
(2)$V = 100h$ (3)500
(4)$100cm^{3}$         $1000cm^{3}$

【分析】
首先明确自变量和因变量的概念：自变量是在变化过程中主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。本题中长方体的高主动变化，体积随高的变化而变化，据此可确定自变量和因变量；其次，根据长方体体积公式，先计算出底面正方形的面积，再结合高得出体积与高的关系式；最后将不同的高代入关系式，即可求出对应的体积。
【解析】
(1) 在该变化过程中，长方体的高是主动变化的量，体积随着高的变化而变化，因此自变量是长方体的高，因变量是长方体的体积。
(2) 已知长方体底面是边长为$10cm$的正方形，因此底面积为$10×10=100(cm^2)$，根据长方体体积公式$V=底面积×高$，可得$V$与$h$的关系式为$V=100h$。
(3) 将$h=5cm$代入$V=100h$，可得$V=100×5=500(cm^3)$。
(4) 当$h=1cm$时，$V=100×1=100(cm^3)$；当$h=10cm$时，$V=100×10=1000(cm^3)$，因此体积由$100cm^3$变化到$1000cm^3$。
【答案】
(1) 长方体的高，长方体的体积
(2) $V = 100h$
(3) 500
(4) $100cm^{3}$，$1000cm^{3}$
【知识点】
自变量与因变量，长方体体积公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查变量的定义和长方体体积公式的应用，解题关键是理解自变量与因变量的区别，熟练掌握长方体体积的计算方法，通过代入具体数值计算体积，巩固变量之间的函数关系。
【难度系数】
0.8

7. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，已知 $∠ C = 90°$，边 $AC = 4cm$，$BC = 5cm$，点 $P$ 为 $CB$ 边上一动点，当点 $P$ 沿 $CB$ 从点 $C$ 向点 $B$ 运动时，$△ APC$ 的面积发生了变化。(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
(2)如果设 $CP$ 长为 $x cm$，$△ APC$ 的面积为 $y cm$，则 $y$ 与 $x$ 的关系可表示为。
(3)当点 $P$ 从点 $D$(点 $D$ 为 $BC$ 的中点)运动到点 $B$ 时，则 $△ APC$ 的面积从 $cm^{2}$ 变到 $cm^{2}$。

7. 解：(1)自变量是$CP$的长度，因变量是$△ APC$的面积
(2)$y = 2x$ (3)5 10

【分析】
1. 对于第(1)问：要明确自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量变化而变化的量。在点P运动过程中，CP的长度是主动变化的，它的变化会引起△APC面积的改变，据此可判断自变量和因变量。
2. 对于第(2)问：△APC是直角三角形，∠C=90°，AC是这条直角边上的高，CP是另一条直角边（底），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知的AC长度和设的CP长度x，即可推导出y与x的关系式。
3. 对于第(3)问：先根据BC的长度求出中点D对应的CP长度，再代入第(2)问的关系式求出此时的面积；再求出P到B点时CP的长度，代入关系式得到对应面积，从而确定面积的变化范围。
【解析】
(1) 在点P运动的过程中，$CP$的长度是主动变化的量，$△ APC$的面积随着$CP$长度的变化而变化，因此自变量是$CP$的长度，因变量是$△ APC$的面积。
(2) 已知$∠ C=90°$，则$AC$是$△ APC$的高，$CP$是底。根据三角形面积公式：
$y=\frac{1}{2}×AC×CP$，将$AC=4cm$，$CP=xcm$代入，可得：
$y=\frac{1}{2}×4×x=2x$（$0＜x≤5$）
(3) 因为D是BC的中点，$BC=5cm$，所以$CD=\frac{1}{2}×5=2.5cm$，将$x=2.5$代入$y=2x$，得$y=2×2.5=5cm^2$；
当点P运动到B点时，$CP=BC=5cm$，将$x=5$代入$y=2x$，得$y=2×5=10cm^2$，所以$△ APC$的面积从$5cm^2$变到$10cm^2$。
【答案】
(1) 自变量是$CP$的长度，因变量是$△ APC$的面积
(2) $y = 2x$
(3) 5；10
【知识点】
自变量与因变量的定义，三角形面积公式，一次函数关系式
【点评】
本题围绕直角三角形中的动点问题展开，考查了变量的基本概念、三角形面积公式的实际应用以及一次函数的简单推导，注重对基础知识点的理解与运用，题目设置循序渐进，帮助学生建立变量与函数的思维认知。
【难度系数】
0.8

8. 如图所示，$ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ △ ABC $ 的周长为 $ 40cm $，设底边 $ BC $ 的长为 $ y cm $，腰 $ AB $ 的长为 $ x cm $。

（1）写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
（2）当腰 $ AB $ 的长为 $ 15cm $ 时，求底边 $ BC $ 的长。

8. 解：(1)$y = 40 - 2x$ (2)$10cm$

【分析】
1. 对于第(1)问，根据三角形周长的定义，三角形的周长等于三边长度之和。已知△ABC是等腰三角形，AB=AC=x，底边BC=y，周长为40cm，因此可以列出关于x和y的等式，通过整理等式即可得到y与x的关系式。
2. 对于第(2)问，已知腰AB的长x=15cm，只需将其代入第(1)问得到的关系式中，计算即可求出底边BC的长度。
【解析】
(1) 已知△ABC的周长为40cm，AB=AC=x cm，BC=y cm，根据三角形周长公式：
$AB + AC + BC = 40$
代入边长表达式可得：
$x + x + y = 40$
整理得：$y = 40 - 2x$
(2) 当$x=15$时，将其代入$y = 40 - 2x$中：
$y = 40 - 2×15 = 40 - 30 = 10$
即底边BC的长为10cm。
【答案】
(1)$y = 40 - 2x$；(2)$10cm$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形周长公式，函数关系式建立
【点评】
本题考查等腰三角形的性质与周长公式的结合应用，属于基础几何代数结合题型，既考查了几何图形的性质，又考查了代数中关系式的建立与代入求值，有助于提升学生的数形结合思维。
【难度系数】
0.9

用一根长是 $ 20cm $ 的细绳围成一个长方形，这个长方形一条边的长为 $ x cm $，它的面积为 $ y cm^{2} $。
（1）写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。在这个关系式中，哪个是自变量？哪个是因变量？自变量的取值应在什么范围内？
（2）用表格表示当 $ x $ 从 $ 1 $ 到 $ 9 $（取整数值）时，$ y $ 的相应值。
（3）从上面的表格中，你能看出什么规律？
（4）猜想一下，怎样围得到的长方形的面积最大？最大面积是多少？

解：(1)$y = x(10 - x)$；$x$是自变量，$y$是因变量，$0 ＜ x ＜ 10$，
(2)当$x$从1变到9时(每次增加1)，$y$的相应值列表如下：
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x/cm$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
$y/cm^{2}$ & 9 & 16 & 21 & 24 & 25 & 24 & 21 & 16 & 9 \\
\hline
\end{tabular}
(3)从上面的表格中，可以看出的规律：
①当$x$逐渐增大时，$y$的值先由小变大，后又由大变小；②$y$的值在由小变大的过程中，变大的速度越来越慢，反过来，$y$的值在由大变小的过程中，变小的速度越来越快；③当$x$取距5等距离的两数时，得到的两个$y$值相等。
(4)当长方形的长与宽相等，即$x$为5时，$y$的值最大，最大值为$25cm^{2}$。

【分析】
1. 第(1)问：先根据长方形周长公式求出另一条边长，再利用面积公式得到$y$与$x$的关系式；根据自变量、因变量的定义确定两者，再结合边长为正数的条件确定自变量的取值范围。
2. 第(2)问：将$x$从1到9的整数值依次代入第(1)问的关系式，计算出对应$y$值，整理成表格即可。
3. 第(3)问：从$y$随$x$的增减变化、变化速度以及数值对称性等角度观察表格数据，总结规律。
4. 第(4)问：观察表格中$y$的数值，找到最大值对应的$x$，从而确定面积最大的围法和最大面积。
【解析】
(1) 已知长方形周长为$20\ \mathrm{cm}$，一条边长为$x\ \mathrm{cm}$，由周长公式$C=2(长+宽)$，可得另一条边长为$\frac{20}{2}-x=(10-x)\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得面积$y=x(10-x)$。
在变化过程中，$x$主动变化，$y$随$x$变化而变化，因此$x$是自变量，$y$是因变量。
因为边长为正数，所以$\begin{cases}x＞0 \\10-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜10$，即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜10$。
(2) 将$x=1,2,\dots,9$分别代入$y=x(10-x)$计算：
$x=1$时，$y=1×(10-1)=9$；
$x=2$时，$y=2×(10-2)=16$；
$x=3$时，$y=3×(10-3)=21$；
$x=4$时，$y=4×(10-4)=24$；
$x=5$时，$y=5×(10-5)=25$；
$x=6$时，$y=6×(10-6)=24$；
$x=7$时，$y=7×(10-7)=21$；
$x=8$时，$y=8×(10-8)=16$；
$x=9$时，$y=9×(10-9)=9$；
列表如下：
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x/cm$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
$y/cm^{2}$ & 9 & 16 & 21 & 24 & 25 & 24 & 21 & 16 & 9 \\
\hline
\end{tabular}
(3) 观察表格数据，总结规律：
①当$x$逐渐增大时，$y$的值先由小变大，后又由大变小；
②$y$的值在由小变大过程中，变大速度越来越慢；在由大变小过程中，变小速度越来越快；
③当$x$取距5等距离的两数时，对应的两个$y$值相等。
(4) 观察表格可知，当$x=5$时，$y$取得最大值，此时长方形长和宽均为$5\ \mathrm{cm}$（即围成正方形），最大面积为$25\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)$y = x(10 - x)$；$x$是自变量，$y$是因变量，$0 ＜ x ＜ 10$；
(2)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x/cm$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
$y/cm^{2}$ & 9 & 16 & 21 & 24 & 25 & 24 & 21 & 16 & 9 \\
\hline
\end{tabular}
(3)①当$x$逐渐增大时，$y$的值先由小变大，后又由大变小；②$y$的值在由小变大的过程中，变大的速度越来越慢，反过来，$y$的值在由大变小的过程中，变小的速度越来越快；③当$x$取距5等距离的两数时，得到的两个$y$值相等；
(4)当长方形的长与宽相等（即围成正方形）时，面积最大，最大面积是$25cm^{2}$。
【知识点】
长方形周长与面积，函数的自变量与因变量，二次函数最值
【点评】
本题结合长方形的周长、面积公式与函数知识，通过推导关系式、列表计算、观察规律，引导学生理解变量间的关系，体会二次函数的变化趋势与最值特点，有助于培养逻辑思维与数形结合意识，是典型的基础函数应用题目。
【难度系数】
0.8