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11. (★) 若一个四边形的四条边长度分别为 $5\mathrm{cm}$，$7\mathrm{cm}$，$6\mathrm{cm}$，$8\mathrm{cm}$，则该四边形的周长为$\mathrm{cm}$.
答案
26
解析
四边形的周长为四条边长度之和，已知四边形四条边长度分别为$5\mathrm{cm}$，$7\mathrm{cm}$，$6\mathrm{cm}$，$8\mathrm{cm}$，则其周长$C = 5 + 7+6 + 8=26\mathrm{cm}$。
12. (★★) 关于四边形的外角，下列说法正确的是 【 】
A.四边形的 $4$ 个外角中，最多有 $1$ 个直角
B.四边形的外角和随形状变化而变化
C.四边形的一个外角等于与它不相邻的三个内角的和减去 $180°$
D.四边形的外角一定大于内角
A.四边形的 $4$ 个外角中，最多有 $1$ 个直角
B.四边形的外角和随形状变化而变化
C.四边形的一个外角等于与它不相邻的三个内角的和减去 $180°$
D.四边形的外角一定大于内角
答案
C
解析
A.矩形的四个外角均为直角，故A错误；B.任意多边形外角和均为360°，与形状无关，故B错误；C.设四边形一个内角为∠A，其外角为∠α=180°-∠A，四边形内角和360°，则与∠A不相邻的三个内角和为360°-∠A，故360°-∠A -180°=180°-∠A=∠α，C正确；D.当内角为钝角时，外角小于内角，故D错误。
13. (★) 若一个四边形的内角中有一个角为 $60°$，其余三个内角之比是 $1:2:3$，则这三个角的度数分别为.
答案
$50°$，$100°$，$150°$
解析
四边形的内角和为$360°$，已知一个内角为$60°$，其余三个内角的和为$360° - 60° = 300°$。
其余三个内角的比为$1:2:3$，设这三个内角分别为$x$、$2x$、$3x$。
根据题意，有：
$x + 2x + 3x = 300°$
$6x = 300°$
$x = 50°$
因此，这三个内角分别为：
$x = 50°$，$2x = 100°$，$3x = 150°$。
其余三个内角的比为$1:2:3$，设这三个内角分别为$x$、$2x$、$3x$。
根据题意，有：
$x + 2x + 3x = 300°$
$6x = 300°$
$x = 50°$
因此，这三个内角分别为：
$x = 50°$，$2x = 100°$，$3x = 150°$。
14. (★★) 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A=∠ C = 90°$，$BF$，$DE$ 分别平分 $∠ ABC$，$∠ ADC$. 判断 $DE$ 与 $BF$ 是否平行，并说明理由.
答案
DE与BF平行。理由如下：
在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，根据四边形内角和为360°，得∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=180°。
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABF=1/2∠ABC，∠ADE=1/2∠ADC，
∴∠ABF+∠ADE=1/2(∠ABC+∠ADC)=1/2×180°=90°。
在Rt△ADE中，∠A=90°，故∠ADE+∠AED=90°。
∵∠ABF+∠ADE=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠ABF=∠AED。
∵∠ABF与∠AED是同位角，且∠ABF=∠AED，
∴DE//BF。
在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，根据四边形内角和为360°，得∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=180°。
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABF=1/2∠ABC，∠ADE=1/2∠ADC，
∴∠ABF+∠ADE=1/2(∠ABC+∠ADC)=1/2×180°=90°。
在Rt△ADE中，∠A=90°，故∠ADE+∠AED=90°。
∵∠ABF+∠ADE=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠ABF=∠AED。
∵∠ABF与∠AED是同位角，且∠ABF=∠AED，
∴DE//BF。
15. (★★) 如图，$AE$，$DE$ 分别是四边形 $ABCD$ 的外角 $∠ NAD$，$∠ MDA$ 的平分线，若 $∠ B = 90°$，$∠ E = 60°$，则 $∠ C$ 的度数为.
答案
150
解析
∵AE，DE分别平分∠NAD，∠MDA，∴∠DAE=1/2∠NAD，∠ADE=1/2∠MDA。在△ADE中，∠E=60°，∴∠DAE+∠ADE=180°-∠E=120°，则∠NAD+∠MDA=2(∠DAE+∠ADE)=240°。∵∠NAD=180°-∠DAB，∠MDA=180°-∠ADC，∴(180°-∠DAB)+(180°-∠ADC)=240°，即∠DAB+∠ADC=120°。∵四边形ABCD内角和为360°，∠B=90°，∴∠C=360°-(∠DAB+∠ADC+∠B)=360°-(120°+90°)=150°。
16. (★★★) 如图，四边形 $ABCD$ 的内角 $∠ DCB$ 的平分线与外角 $∠ ABE$ 的平分线相交于点 $F$.
(1) 若 $BF// CD$，$∠ ABC = 80°$，求 $∠ DCB$ 的度数；
(2) 若 $∠ A = 105°$，$∠ D = 125°$，求 $∠ F$ 的度数；
(3) 猜想 $∠ F$，$∠ A$，$∠ D$ 之间的数量关系，并说明理由.
(1) 若 $BF// CD$，$∠ ABC = 80°$，求 $∠ DCB$ 的度数；
(2) 若 $∠ A = 105°$，$∠ D = 125°$，求 $∠ F$ 的度数；
(3) 猜想 $∠ F$，$∠ A$，$∠ D$ 之间的数量关系，并说明理由.
答案
1. （1）
解：
因为$∠ ABC = 80^{\circ}$，所以$∠ ABE=180^{\circ}-∠ ABC = 100^{\circ}$。
因为$BF$平分$∠ ABE$，所以$∠ ABF=∠ FBE=\frac{1}{2}∠ ABE = 50^{\circ}$。
又因为$BF// CD$，根据两直线平行，内错角相等，所以$∠ DCB=∠ FBC$。
而$∠ FBC = 50^{\circ}$，所以$∠ DCB = 100^{\circ}$。
2. （2）
解：
因为四边形内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$，已知$∠ A = 105^{\circ}$，$∠ D = 125^{\circ}$，设$∠ DCB = 2x$，$∠ ABE = 2y$。
则$∠ ABC=180 - 2y$，$∠ DCB = 2x$，$∠ A+∠ ABC+∠ BCD+∠ D = 360^{\circ}$，即$105+(180 - 2y)+2x + 125 = 360$。
化简得$x - y= - 25$。
因为$∠ FBE=y$，$∠ FCB=x$，根据三角形外角性质$∠ F=∠ FBE-∠ FCB$（$∠ FBE$是$△ FBC$的外角）。
所以$∠ F=y - x$，由$x - y=-25$，得$∠ F = 25^{\circ}$。
3. （3）
解：
猜想：$∠ F=\frac{1}{2}(∠ A+∠ D - 180^{\circ})$。
理由：
设$∠ DCB = 2x$，$∠ ABE = 2y$。
因为四边形内角和$∠ A+∠ ABC+∠ BCD+∠ D=(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$，$∠ ABC = 180 - 2y$，$∠ BCD = 2x$，所以$∠ A+(180 - 2y)+2x+∠ D = 360$。
化简得$x - y=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A-∠ D)$。
又因为$∠ F=∠ FBE-∠ FCB$（$∠ FBE$是$△ FBC$外角，$∠ FBE = y$，$∠ FCB = x$）。
所以$∠ F=y - x$，由$x - y=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A-∠ D)$，得$∠ F=\frac{1}{2}(∠ A+∠ D - 180^{\circ})$。
综上，（1）$∠ DCB = 100^{\circ}$；（2）$∠ F = 25^{\circ}$；（3）$∠ F=\frac{1}{2}(∠ A+∠ D - 180^{\circ})$。
解：
因为$∠ ABC = 80^{\circ}$，所以$∠ ABE=180^{\circ}-∠ ABC = 100^{\circ}$。
因为$BF$平分$∠ ABE$，所以$∠ ABF=∠ FBE=\frac{1}{2}∠ ABE = 50^{\circ}$。
又因为$BF// CD$，根据两直线平行，内错角相等，所以$∠ DCB=∠ FBC$。
而$∠ FBC = 50^{\circ}$，所以$∠ DCB = 100^{\circ}$。
2. （2）
解：
因为四边形内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$，已知$∠ A = 105^{\circ}$，$∠ D = 125^{\circ}$，设$∠ DCB = 2x$，$∠ ABE = 2y$。
则$∠ ABC=180 - 2y$，$∠ DCB = 2x$，$∠ A+∠ ABC+∠ BCD+∠ D = 360^{\circ}$，即$105+(180 - 2y)+2x + 125 = 360$。
化简得$x - y= - 25$。
因为$∠ FBE=y$，$∠ FCB=x$，根据三角形外角性质$∠ F=∠ FBE-∠ FCB$（$∠ FBE$是$△ FBC$的外角）。
所以$∠ F=y - x$，由$x - y=-25$，得$∠ F = 25^{\circ}$。
3. （3）
解：
猜想：$∠ F=\frac{1}{2}(∠ A+∠ D - 180^{\circ})$。
理由：
设$∠ DCB = 2x$，$∠ ABE = 2y$。
因为四边形内角和$∠ A+∠ ABC+∠ BCD+∠ D=(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$，$∠ ABC = 180 - 2y$，$∠ BCD = 2x$，所以$∠ A+(180 - 2y)+2x+∠ D = 360$。
化简得$x - y=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A-∠ D)$。
又因为$∠ F=∠ FBE-∠ FCB$（$∠ FBE$是$△ FBC$外角，$∠ FBE = y$，$∠ FCB = x$）。
所以$∠ F=y - x$，由$x - y=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A-∠ D)$，得$∠ F=\frac{1}{2}(∠ A+∠ D - 180^{\circ})$。
综上，（1）$∠ DCB = 100^{\circ}$；（2）$∠ F = 25^{\circ}$；（3）$∠ F=\frac{1}{2}(∠ A+∠ D - 180^{\circ})$。
