9. 一个$n$边形的内角和与外角和的比是$4:1$，则$n$是()。

A.8
B.9
C.10
D.12

9. C

10. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的形状图如图①所示，正六边形各有一个顶点在直线$l$上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的形状图如图②所示，其中，中间正六边形的一边与直线$l$平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点，则图②中$∠ α$的度数为。

10. $ 30° $

11. 如图，小亮从点$A$出发前进10m，向右转$15°$；再前进10m，又向右转$15°······$这样一直走下去，则他第一次回到出发点$A$时一共走了。

11. $ 240m $

12. 【数学应用】剪纸是古老的传统民间艺术，作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，其载体可以是纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮、革等片状材料。如图，小宇计划用一张正方形皮革剪出一个面积最大的正六边形作杯子的底座，正方形$ABCD$的边长为16cm，则裁出的长方形$BEFC$的边$BE$的长为cm。

12. $ (16 - 8\sqrt{3}) $

13. 已知一个多边形的每个内角都相等，且它的每个内角比与其相邻的外角大$60°$，这个多边形是几边形？

13. 解: 由题意设这个多边形的每个外角的度数为 $ x° $，则每个内角的度数均为 $ (x + 60)° $，
则 $ x + (x + 60) = 180 $，
解得 $ x = 60 $。
$ 360° ÷ 60° = 6 $，
所以这个多边形是六边形。

14. 请用两种方法证明：四边形的外角和为$360°$。(要求：结合图形，写出已知、求证，并证明)

14. 解: 已知: 如图, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ ∠ 1, ∠ 2 $，$ ∠ 3, ∠ 4 $ 是四边形 $ ABCD $ 的四个外角。
求证: $ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360° $。
证法一: 如图①，
$ \because ∠ 1 = 180° - ∠ DAB, ∠ 2 = 180° - ∠ ADC $，$ ∠ 3 = 180° - ∠ DCB, ∠ 4 = 180° - ∠ ABC $，
$ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 180° × 4 - (∠ DAB + ∠ ADC + ∠ DCB + ∠ ABC) $。
$ \because $ 四边形的内角和为 $ (4 - 2) × 180° = 360° $，
$ \therefore ∠ DAB + ∠ ADC + ∠ DCB + ∠ ABC = 360° $，
$ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 720° - 360° = 360° $。

证法二: 如图②, 连接 $ AC, BD $。
$ \because ∠ 1 = ∠ ADB + ∠ ABD, ∠ 3 = ∠ CDB + ∠ CBD $，
$ \therefore ∠ 1 + ∠ 3 = ∠ ADC + ∠ ABC $。
同理, $ ∠ 2 + ∠ 4 = ∠ DAB + ∠ DCB $，
$ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = ∠ ADC + ∠ ABC + ∠ DAB + ∠ DCB $。
$ \because $ 四边形的内角和为 $ (4 - 2) × 180° = 360° $，
$ \therefore ∠ DAB + ∠ ADC + ∠ DCB + ∠ ABC = 360° $，
$ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360° $。