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9. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$，$M$分别是$AB$，$CD$，$BD$的中点，$AD = BC$. 求证：$ME = MF$.
答案
9.
∵E,M是AB,BD的中点,
∴EM是△ABD的中位线.
∴EM=$\frac{1}{2}$AD. 同理，FM=$\frac{1}{2}$BC.
∵AD=BC,
∴ME=MF
∵E,M是AB,BD的中点,
∴EM是△ABD的中位线.
∴EM=$\frac{1}{2}$AD. 同理，FM=$\frac{1}{2}$BC.
∵AD=BC,
∴ME=MF
解析
【分析】
要证明$ME = MF$，观察到点$E$、$M$、$F$分别是线段$AB$、$BD$、$CD$的中点，可联想到三角形中位线定理。首先，$E$、$M$是$△ ABD$两边的中点，所以$EM$是$△ ABD$的中位线，同理$FM$是$△ BCD$的中位线；根据中位线定理可得到$EM$与$AD$、$FM$与$BC$的数量关系，再结合已知条件$AD = BC$，通过等量代换即可证明$ME = MF$。
【解析】
∵$E$，$M$是$AB$，$BD$的中点，
∴$EM$是$△ ABD$的中位线，
∴$EM=\frac{1}{2}AD$。
同理可得，$FM$是$△ BCD$的中位线，
∴$FM=\frac{1}{2}BC$。
∵$AD = BC$，
∴$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
∴$ME = MF$。
【答案】
$ME = MF$得证。
【知识点】
三角形中位线定理、等量代换
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理的应用，解题关键是准确识别出图中的两条中位线，利用中位线将线段$ME$、$MF$分别与已知相等的线段$AD$、$BC$建立联系，进而通过等量代换完成证明，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.8
要证明$ME = MF$，观察到点$E$、$M$、$F$分别是线段$AB$、$BD$、$CD$的中点，可联想到三角形中位线定理。首先，$E$、$M$是$△ ABD$两边的中点，所以$EM$是$△ ABD$的中位线，同理$FM$是$△ BCD$的中位线；根据中位线定理可得到$EM$与$AD$、$FM$与$BC$的数量关系，再结合已知条件$AD = BC$，通过等量代换即可证明$ME = MF$。
【解析】
∵$E$，$M$是$AB$，$BD$的中点，
∴$EM$是$△ ABD$的中位线，
∴$EM=\frac{1}{2}AD$。
同理可得，$FM$是$△ BCD$的中位线，
∴$FM=\frac{1}{2}BC$。
∵$AD = BC$，
∴$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
∴$ME = MF$。
【答案】
$ME = MF$得证。
【知识点】
三角形中位线定理、等量代换
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理的应用，解题关键是准确识别出图中的两条中位线，利用中位线将线段$ME$、$MF$分别与已知相等的线段$AD$、$BC$建立联系，进而通过等量代换完成证明，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，垂足为$D$.$AC$，$BC$的中点分别为$E$，$F$，连接$DE$，$EF$.
（1）若$∠ B = 40^{\circ}$，$∠ C = 55^{\circ}$，求$∠ DEF$的大小；
（2）若$AD = 6$，$BD = 8$，$CD = 4$，求$△ DEF$的周长.
（1）若$∠ B = 40^{\circ}$，$∠ C = 55^{\circ}$，求$∠ DEF$的大小；
（2）若$AD = 6$，$BD = 8$，$CD = 4$，求$△ DEF$的周长.
答案
10. (1)
∵∠B=40°,∠C=55°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=85°.
∵E,F分别为边AC,BC的中点，
∴EF//AB.
∴∠CEF=∠BAC=85°.在Rt△ADC中,E为边AC的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=EC.
∴∠EDC=∠C=55°.
∴∠DEC=180°−∠EDC−∠C=70°.
∴∠DEF=85°−70°=15°
(2)在Rt△ADB中,AD=6,BD=8,由勾股定理，得AB=$\sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$.
∵E,F分别为边AC,BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=5.在Rt△ADC中,AD=6,CD=4,由勾股定理,得AC=$\sqrt{AD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{13}$.
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$.
∵BD=8,CD=4,
∴BC=12.
∵F为边BC的中点,
∴CF=6.
∴DF=6−4=2.
∴△DEF的周长=5+2+$\sqrt{13}$=7+$\sqrt{13}$
∵∠B=40°,∠C=55°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=85°.
∵E,F分别为边AC,BC的中点，
∴EF//AB.
∴∠CEF=∠BAC=85°.在Rt△ADC中,E为边AC的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=EC.
∴∠EDC=∠C=55°.
∴∠DEC=180°−∠EDC−∠C=70°.
∴∠DEF=85°−70°=15°
(2)在Rt△ADB中,AD=6,BD=8,由勾股定理，得AB=$\sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$.
∵E,F分别为边AC,BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=5.在Rt△ADC中,AD=6,CD=4,由勾股定理,得AC=$\sqrt{AD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{13}$.
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$.
∵BD=8,CD=4,
∴BC=12.
∵F为边BC的中点,
∴CF=6.
∴DF=6−4=2.
∴△DEF的周长=5+2+$\sqrt{13}$=7+$\sqrt{13}$
解析
【分析】
（1）要计算$∠DEF$的度数，可先通过三角形内角和求出$∠BAC$，再利用三角形中位线定理得到$EF// AB$，从而得出$∠CEF=∠BAC$；接着在$Rt△ADC$中，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到$DE=EC$，结合等腰三角形性质和内角和求出$∠DEC$，最后通过$∠CEF$与$∠DEC$的差得到$∠DEF$。
（2）求$△DEF$的周长，需分别求出$DE$、$EF$、$DF$的长度。先利用勾股定理求出$AB$和$AC$的长，再根据三角形中位线定理得$EF$的长度，根据直角三角形斜边中线性质得$DE$的长度；然后计算$BC$的长，结合$F$是$BC$中点求出$CF$，进而得到$DF$的长度，最后将三边长度相加得到周长。
【解析】
（1）在$△ABC$中，
∵$∠B = 40°$，$∠C = 55°$，
∴$∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 55° = 85°$。
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是$△ABC$的中位线，
∴$EF// AB$，
∴$∠CEF = ∠BAC = 85°$。
∵$AD⊥BC$，E为AC的中点，
∴在$Rt△ADC$中，$DE = \frac{1}{2}AC = EC$，
∴$∠EDC = ∠C = 55°$，
∴$∠DEC = 180° - ∠EDC - ∠C = 180° - 55° - 55° = 70°$，
∴$∠DEF = ∠CEF - ∠DEC = 85° - 70° = 15°$。
（2）在$Rt△ADB$中，$AD = 6$，$BD = 8$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$。
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是$△ABC$的中位线，
∴$EF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5$。
在$Rt△ADC$中，$AD = 6$，$CD = 4$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{13}$。
∵E为AC的中点，
∴$DE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×2\sqrt{13} = \sqrt{13}$。
∵$BD = 8$，$CD = 4$，
∴$BC = BD + CD = 8 + 4 = 12$。
∵F为BC的中点，
∴$CF = \frac{1}{2}BC = 6$，
∴$DF = CF - CD = 6 - 4 = 2$。
则$△DEF$的周长为$DE + EF + DF = \sqrt{13} + 5 + 2 = 7 + \sqrt{13}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15°}$；（2）$\boldsymbol{7+\sqrt{13}}$
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了三角形的多个核心性质，需要熟练掌握中位线的平行与长度关系、直角三角形斜边中线的特殊性，以及勾股定理的应用，解题时要理清各线段和角的关联，逐步推导计算。
【难度系数】
0.6
（1）要计算$∠DEF$的度数，可先通过三角形内角和求出$∠BAC$，再利用三角形中位线定理得到$EF// AB$，从而得出$∠CEF=∠BAC$；接着在$Rt△ADC$中，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到$DE=EC$，结合等腰三角形性质和内角和求出$∠DEC$，最后通过$∠CEF$与$∠DEC$的差得到$∠DEF$。
（2）求$△DEF$的周长，需分别求出$DE$、$EF$、$DF$的长度。先利用勾股定理求出$AB$和$AC$的长，再根据三角形中位线定理得$EF$的长度，根据直角三角形斜边中线性质得$DE$的长度；然后计算$BC$的长，结合$F$是$BC$中点求出$CF$，进而得到$DF$的长度，最后将三边长度相加得到周长。
【解析】
（1）在$△ABC$中，
∵$∠B = 40°$，$∠C = 55°$，
∴$∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 55° = 85°$。
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是$△ABC$的中位线，
∴$EF// AB$，
∴$∠CEF = ∠BAC = 85°$。
∵$AD⊥BC$，E为AC的中点，
∴在$Rt△ADC$中，$DE = \frac{1}{2}AC = EC$，
∴$∠EDC = ∠C = 55°$，
∴$∠DEC = 180° - ∠EDC - ∠C = 180° - 55° - 55° = 70°$，
∴$∠DEF = ∠CEF - ∠DEC = 85° - 70° = 15°$。
（2）在$Rt△ADB$中，$AD = 6$，$BD = 8$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$。
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是$△ABC$的中位线，
∴$EF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5$。
在$Rt△ADC$中，$AD = 6$，$CD = 4$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{13}$。
∵E为AC的中点，
∴$DE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×2\sqrt{13} = \sqrt{13}$。
∵$BD = 8$，$CD = 4$，
∴$BC = BD + CD = 8 + 4 = 12$。
∵F为BC的中点，
∴$CF = \frac{1}{2}BC = 6$，
∴$DF = CF - CD = 6 - 4 = 2$。
则$△DEF$的周长为$DE + EF + DF = \sqrt{13} + 5 + 2 = 7 + \sqrt{13}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15°}$；（2）$\boldsymbol{7+\sqrt{13}}$
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了三角形的多个核心性质，需要熟练掌握中位线的平行与长度关系、直角三角形斜边中线的特殊性，以及勾股定理的应用，解题时要理清各线段和角的关联，逐步推导计算。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$DE$是$△ ABC$的中位线，$AF$是$△ ABC$的中线.用两种方法证明$DE = AF$.
答案
11. 证法1:
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE=$\frac{1}{2}$BC;
∵AF是△ABC的中线,∠BAC=90°,
∴AF=$\frac{1}{2}$BC.
∴DE=AF.
证法2:连接DF,EF;
∵DE是△ABC的中位线,AF是△ABC的中线,
∴DF,EF是△ABC的中位线.
∴DF//AC,EF//AB.
∴四边形ADFE是平行四边形.
∵∠BAC=90°,
∴四边形ADFE是矩形.
∴DE=AF
解析
【分析】
要证明$DE=AF$，可从两个角度思考：
1. 思路一：利用线段与第三边的数量关系推导，先根据三角形中位线定理得到$DE$与$BC$的关系，再结合直角三角形斜边中线的性质得到$AF$与$BC$的关系，进而证明两者相等；
2. 思路二：构造四边形，通过中位线的平行性质证明四边形是平行四边形，再结合直角条件证得四边形为矩形，利用矩形对角线相等的性质完成证明。
【解析】
证法1：
∵$DE$是$△ ABC$的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC$（三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半）；
∵$AF$是$△ ABC$的中线，$∠ BAC=90°$，
∴$AF=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∴$DE=AF$。
证法2：
连接$DF$，$EF$。
∵$DE$是$△ ABC$的中位线，$AF$是$△ ABC$的中线，
∴$D$是$AB$中点，$F$是$BC$中点，$E$是$AC$中点，
∴$DF$、$EF$是$△ ABC$的中位线。
∴$DF// AC$，$EF// AB$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边）。
∴四边形$ADFE$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵$∠ BAC=90°$，
∴四边形$ADFE$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
∴$DE=AF$（矩形的对角线相等）。
【答案】
通过上述两种证法均可证明$DE = AF$
【知识点】
三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题通过两种不同思路证明线段相等，综合考查了三角形与四边形的多个核心定理，要求熟练掌握相关定理的内容与应用场景，培养几何证明的发散思维。
【难度系数】
0.6
要证明$DE=AF$，可从两个角度思考：
1. 思路一：利用线段与第三边的数量关系推导，先根据三角形中位线定理得到$DE$与$BC$的关系，再结合直角三角形斜边中线的性质得到$AF$与$BC$的关系，进而证明两者相等；
2. 思路二：构造四边形，通过中位线的平行性质证明四边形是平行四边形，再结合直角条件证得四边形为矩形，利用矩形对角线相等的性质完成证明。
【解析】
证法1：
∵$DE$是$△ ABC$的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC$（三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半）；
∵$AF$是$△ ABC$的中线，$∠ BAC=90°$，
∴$AF=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∴$DE=AF$。
证法2：
连接$DF$，$EF$。
∵$DE$是$△ ABC$的中位线，$AF$是$△ ABC$的中线，
∴$D$是$AB$中点，$F$是$BC$中点，$E$是$AC$中点，
∴$DF$、$EF$是$△ ABC$的中位线。
∴$DF// AC$，$EF// AB$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边）。
∴四边形$ADFE$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵$∠ BAC=90°$，
∴四边形$ADFE$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
∴$DE=AF$（矩形的对角线相等）。
【答案】
通过上述两种证法均可证明$DE = AF$
【知识点】
三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题通过两种不同思路证明线段相等，综合考查了三角形与四边形的多个核心定理，要求熟练掌握相关定理的内容与应用场景，培养几何证明的发散思维。
【难度系数】
0.6
