1. (★★)已知直线 $ l:y=(m - 1)x + 7 - 3m $.
(1)当 $ m = $时,此函数是 $ y $ 关于 $ x $ 的正比例函数,$ y $ 随 $ x $ 的增大而.
(2)若 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ m $ 的取值范围是.
(3)若直线 $ l $ 与直线 $ y = -x + 8 $ 平行,则 $ m $ 的值为.
(4)若点 $ A(1,y_{1}),B(-4,y_{2}) $ 是直线 $ l $ 上的两个点,且 $ y_{1} ＜ y_{2} $,则 $ m $ 的取值范围是.
(5)若直线 $ l $ 与 $ y $ 轴的交点在 $ x $ 轴的上方,则 $ m $ 的取值范围是.
(6)若直线 $ l $ 不经过第二象限,则 $ m $ 的取值范围是.

(1) $\frac{7}{3}$；增大
(2) $m ＜ 1$
(3) $0$
(4) $m ＜ 1$
(5) $m ＜ \frac{7}{3}$
(6) $m ≥ \frac{7}{3}$

2. (★★)若直线 $ l_{1} $ 经过点 $ (0,4) $ 和点 $ (3,-2) $,直线 $ l_{2} $ 与直线 $ l_{1} $ 关于 $ x $ 轴对称,则直线 $ l_{2} $ 的函数解析式为.

设直线$l_1$的解析式为$y = kx + b$。
将点$(0,4)$代入得：$b = 4$。
将点$(3,-2)$和$b = 4$代入$y = kx + b$得：
$3k + 4 = -2$，
$3k = -6$，
$k = -2$，
所以，直线$l_1$的解析式为$y = -2x + 4$。
由于直线$l_2$与直线$l_1$关于$x$轴对称，所以直线$l_2$上每一个点的横坐标与直线$l_1$上的对应点相同，但纵坐标互为相反数。
设直线$l_2$上的点为$(x,y)$，则直线$l_1$上的对应点为$(x, -y)$。
将$(x, -y)$代入直线$l_1$的解析式得：
$-y = -2x + 4$，
$y = 2x - 4$，
所以，直线$l_2$的解析式为$y = 2x - 4$。
故答案为：$y = 2x - 4$。

3. (★★)如图,一次函数 $ y = x + b $ 的图象过点 $ A(1,2) $,且与 $ x $ 轴相交于点 $ B $,若 $ P $ 是 $ x $ 轴正半轴上的一点,且满足 $ △ APB $ 是等腰三角形,则点 $ P $ 的坐标可以是.

1. 求一次函数解析式：将点A(1,2)代入y=x+b，得2=1+b，解得b=1，故函数为y=x+1。
2. 求点B坐标：令y=0，得0=x+1，解得x=-1，故B(-1,0)。
3. 设P(p,0)(p＞0)，分三种情况讨论：
情况1：AB=AP。AB=√[(1+1)²+(2-0)²]=2√2，AP=√[(p-1)²+2²]，则√[(p-1)²+4]=2√2，平方得(p-1)²=4，解得p=3或p=-1(舍)，故P(3,0)。
情况2：AB=BP。BP=p+1，故p+1=2√2，解得p=2√2-1，故P(2√2-1,0)。
情况3：AP=BP。√[(p-1)²+4]=p+1，平方得p²-2p+5=p²+2p+1，解得p=1，故P(1,0)。
(1,0)（或(3,0)或(2√2-1,0)）

4. (★★)在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = x + 4 $ 的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A,B $,点 $ P $ 在一次函数 $ y = x $ 的图象上,则当 $ △ ABP $ 为直角三角形时,点 $ P $ 的坐标是.

(0,0)，(2,2)，(-2,-2)

1. 求A、B坐标：令y=0，得A(-4,0)；令x=0，得B(0,4)。设P(m,m)。
2. 情况1：直角顶点为A，AP⊥AB。k_AB=1，k_AP=m/(m+4)。由1×[m/(m+4)]=-1，得m=-2，P(-2,-2)。
3. 情况2：直角顶点为B，BP⊥AB。k_BP=(m-4)/m。由1×[(m-4)/m]=-1，得m=2，P(2,2)。
4. 情况3：直角顶点为P，PA⊥PB。k_PA=m/(m+4)，k_PB=(m-4)/m。由[m/(m+4)]×[(m-4)/m]=-1，得m=0，P(0,0)。

5. (★★★)如图,在平面直角坐标系中,$ A $,$ B $ 两点的坐标分别为 $ (1,5),(3,3) $,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ M,N $,如果以点 $ A,B,M,N $ 为顶点的四边形是平行四边形,那么 $ b $ 的值为.

情况1：以AB和MN为对角线
AB中点坐标为$(\frac{1+3}{2},\frac{5+3}{2})=(2,4)$，MN中点坐标为$(\frac{-b/k+0}{2},\frac{0+b}{2})=(-\frac{b}{2k},\frac{b}{2})$。
由中点重合得：$-\frac{b}{2k}=2$且$\frac{b}{2}=4$，解得$b=8$，$k=-2$。
情况2：以AM和BN为对角线
AM中点坐标为$(\frac{1+(-b/k)}{2},\frac{5+0}{2})=(\frac{1-b/k}{2},\frac{5}{2})$，BN中点坐标为$(\frac{3+0}{2},\frac{3+b}{2})=(\frac{3}{2},\frac{3+b}{2})$。
由中点重合得：$\frac{1-b/k}{2}=\frac{3}{2}$且$\frac{5}{2}=\frac{3+b}{2}$，解得$b=2$，$k=-1$。
情况3：以AN和BM为对角线
AN中点坐标为$(\frac{1+0}{2},\frac{5+b}{2})=(\frac{1}{2},\frac{5+b}{2})$，BM中点坐标为$(\frac{3+(-b/k)}{2},\frac{3+0}{2})=(\frac{3-b/k}{2},\frac{3}{2})$。
由中点重合得：$\frac{1}{2}=\frac{3-b/k}{2}$且$\frac{5+b}{2}=\frac{3}{2}$，解得$b=-2$，$k=-1$。
综上，$b$的值为$-2$，$2$，$8$。
$-2,2,8$

6. (★★★)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = k_{1}x + b $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-3,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,且与正比例函数 $ y = kx $ 的图象交点为 $ C(3,4) $.

(1)求 $ k $ 的值与一次函数 $ y = k_{1}x + b $ 的解析式;
(2)若点 $ D $ 在第二象限,$ △ ABD $ 是以 $ AB $ 为直角边的等腰直角三角形,请求出点 $ D $ 的坐标.

(1) 把点$C(3,4)$代入$y=kx$，得$4=3k$，解得$k=\frac{4}{3}$。
将$A(-3,0)$，$C(3,4)$代入$y=k_1x+b$，得：
$\begin{cases}-3k_1 + b = 0 \\ 3k_1 + b = 4\end{cases}$
两式相减：$6k_1=4$，$k_1=\frac{2}{3}$，代入$-3×\frac{2}{3}+b=0$，得$b=2$。
一次函数解析式为$y=\frac{2}{3}x + 2$。
(2) 令$x=0$，得$y=2$，则$B(0,2)$。$OA=3$，$OB=2$，$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
情况1：以$A$为直角顶点，设$D(x,y)$，向量$\overrightarrow{AB}=(3,2)$，$\overrightarrow{AD}=(x+3,y)$。
$\begin{cases}3(x+3)+2y=0 \\ (x+3)^2 + y^2=13\end{cases}$
解得$x=-5$，$y=3$，即$D(-5,3)$。
情况2：以$B$为直角顶点，向量$\overrightarrow{BA}=(-3,-2)$，$\overrightarrow{BD}=(x,y-2)$。
$\begin{cases}-3x - 2(y-2)=0 \\ x^2 + (y-2)^2=13\end{cases}$
解得$x=-2$，$y=5$，即$D(-2,5)$。
综上，$D$的坐标为$(-5,3)$或$(-2,5)$。