知识点5 建立方程组模型解决实际问题
8. (数学文化)《算法统宗》一书中有这样一道题：一根竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果$1$托为$5$尺，设索长为$x$尺，竿子长为$y$尺，可列方程组为()。

A.$\begin{cases}x - y = 5,\\2x - y = 5\end{cases}$

B.$\begin{cases}x - y = 5,\\y-\dfrac{x}{2}=5\end{cases}$
C.$\begin{cases}x - y = 5,\\x-\dfrac{y}{2}=5\end{cases}$
D.$\begin{cases}y - x = 5,\\x-\dfrac{y}{2}=5\end{cases}$

B

题目中有两条关键信息：
1. 索比竿长一托，即 $x - y = 5$。
2. 对折索子来量竿，却比竿子短一托，即 $y - \frac{x}{2} = 5$。
根据以上信息，可列方程组为：
$\begin{cases}x - y = 5, \\y - \frac{x}{2} = 5\end{cases}$
所以选项 B 是正确的。

9. 方程组$\begin{cases}x + y = 2,\\3x + y = 4\end{cases}$的解是( )。

A.$\begin{cases}x = 0,\\y = 2\end{cases}$

B.$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 2,\\y = - 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3,\\y = - 3\end{cases}$

B

用第二个方程$3x + y = 4$减去第一个方程$x + y = 2$，得$2x = 2$，解得$x = 1$。将$x = 1$代入$x + y = 2$，得$1 + y = 2$，解得$y = 1$。所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$。

10. 某年级共有学生$246$人，其中男生人数$y$比女生人数$x$的$2$倍少$2$，则下面所列的方程组中符合题意的是()。

A.$\begin{cases}x + y = 246,\\2y = x - 2\end{cases}$

B.$\begin{cases}x + y = 246,\\2x = y + 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 246,\\y = 2x + 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 246,\\2y = x + 2\end{cases}$

B

题目给出两个条件：
1. 学生总人数为246人，即$x + y = 246$。
2. 男生人数$y$比女生人数$x$的2倍少2，即$y = 2x - 2$，可以变形为$2x = y + 2$。
因此，符合题意的方程组为：
$\begin{cases}x + y = 246, \\2x = y + 2\end{cases}$
对比选项，符合的为选项B。

11. 已知$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$是方程$ax + by = 3$的解，则代数式$2a + 4b - 5$的值为 ______ 。

1

将$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$代入方程$ax + by = 3$，得$a + 2b = 3$。则$2a + 4b - 5 = 2(a + 2b) - 5 = 2×3 - 5 = 1$。

12. 若$(a + 1)x^{\vert a\vert}+y = - 8$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$a=$。

1（（题目已给出填空横线，只填数字1即可））

根据二元一次方程的定义，方程中$x$和$y$的最高次数都应为1，且它们的系数不为0。
对于方程$(a + 1)x^{\vert a\vert}+y = - 8$，要满足其为二元一次方程，必须满足以下条件：
$|a| = 1$，使得$x$的次数为1。
$a + 1 ≠ 0$，确保$x$的系数不为0。
由$|a| = 1$，可以得到两个可能的$a = 1$或$a = -1$。
但由$a + 1 ≠ 0$，可以排除$a = -1$，因为当$a = -1$时，$a + 1 = 0$。
所以，唯一满足条件的$a$的值为1。

13. (1)$\begin{cases}x = 21,\\y = 15\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x + 3 = 2(y - 3),\\y + 3 = x - 3\end{cases}$的解吗？

(2) 已知$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}3x-(m + 1)y = 3,\\nx + y = 2\end{cases}$的解，求$n - m$的值。

(1) 将 $\begin{cases} x = 21, \\ y = 15 \end{cases}$ 代入方程组 $\begin{cases} x + 3 = 2(y - 3), \\ y + 3 = x - 3 \end{cases}$ 中进行验证：
对于方程 $x + 3 = 2(y - 3)$：
左边 = $21 + 3 = 24$，
右边 = $2× (15 - 3) = 2 × 12 = 24$，
因为左边 = 右边，所以满足该方程。
对于方程 $y + 3 = x - 3$：
左边 = $15 + 3 = 18$，
右边 = $21 - 3 = 18$，
因为左边 = 右边，所以满足该方程。
因此$\begin{cases} x = 21, \\ y = 15 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} x + 3 = 2(y - 3), \\ y + 3 = x - 3 \end{cases}$的解。
(2) 将 $\begin{cases} x = 1, \\ y = 1 \end{cases}$ 代入方程组 $\begin{cases} 3x - (m + 1)y = 3, \\ nx + y = 2 \end{cases}$ 中：
对于方程 $3x - (m + 1)y = 3$：
$3 × 1 - (m + 1) × 1 = 3$，
$3 - m - 1 = 3$，
$m = -1$。
对于方程 $nx + y = 2$：
$n × 1 + 1 = 2$，
$n = 1$。
所以 $n - m = 1 - (-1) = 2$。
因此$n - m$的值为$2$。

14. (运算能力、推理能力)已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - ay = 10,\\2x + by = 15.\end{cases}$如果该方程组的解是$\begin{cases}x = 7,\\y = 1,\end{cases}$那么关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3(x + y)-a(x - y)=10,\\2(x + y)+b(x - y)=15\end{cases}$的解是多少？

因为关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - ay = 10\\2x + by = 15\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 7\\y = 1\end{cases}$，
令$m = x + y$，$n = x - y$，则方程组$\begin{cases}3(x + y)-a(x - y)=10\\2(x + y)+b(x - y)=15\end{cases}$可化为$\begin{cases}3m - an = 10\\2m + bn = 15\end{cases}$，
此方程组与$\begin{cases}3x - ay = 10\\2x + by = 15\end{cases}$形式相同，故$\begin{cases}m = 7\\n = 1\end{cases}$，即$\begin{cases}x + y = 7\\x - y = 1\end{cases}$，
解$\begin{cases}x + y = 7\\x - y = 1\end{cases}$，两式相加得$2x = 8$，$x = 4$，
将$x = 4$代入$x + y = 7$，得$4 + y = 7$，$y = 3$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$。
$\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$