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15. 材料：善于思考的小斌同学在解决连比等式问题“已知正$x$，$y$，$z$满足$\frac{y + z}{x}=\frac{z + x}{y}=\frac{x + y}{z}$，求$2x - y - z$的值”时，采用了引入参数法，他引入参数$k$，将连比等式转化为三个等式，再利用等式的基本性质求出参数$k$的值，进而得出$x$，$y$，$z$之间的关系，从而解决问题，过程如下.
解：设$\frac{y + z}{x}=\frac{z + y}{y}=\frac{x + y}{z}=k$，则有$y + z=kx$，$z + x=ky$，$x + y=kz$，将以上三个等式相加，得$2(x + y + z)=k(x + y + z)$.
$\because x$，$y$，$z$都为正数，$\therefore k=2$，即$\frac{y + z}{x}=2$，
$\therefore 2x - y - z=0$.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
(1)若正数$x$，$y$，$z$满足$\frac{x}{2y + z}=\frac{y}{2z + x}=\frac{z}{2x + y}=k$，求$k$的值；
(2)已知$\frac{a + b}{a - b}=\frac{b + c}{2(b - c)}=\frac{c + a}{3(c - a)}$，$a$，$b$，$c$互不相等，求证：$8a + 9b + 5c=0$.
解：设$\frac{y + z}{x}=\frac{z + y}{y}=\frac{x + y}{z}=k$，则有$y + z=kx$，$z + x=ky$，$x + y=kz$，将以上三个等式相加，得$2(x + y + z)=k(x + y + z)$.
$\because x$，$y$，$z$都为正数，$\therefore k=2$，即$\frac{y + z}{x}=2$，
$\therefore 2x - y - z=0$.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
(1)若正数$x$，$y$，$z$满足$\frac{x}{2y + z}=\frac{y}{2z + x}=\frac{z}{2x + y}=k$，求$k$的值；
(2)已知$\frac{a + b}{a - b}=\frac{b + c}{2(b - c)}=\frac{c + a}{3(c - a)}$，$a$，$b$，$c$互不相等，求证：$8a + 9b + 5c=0$.
答案
15. (1) 解：$ \because x $，$ y $，$ z $ 都为正数，
满足 $ \frac { x } { 2 y + z } = \frac { y } { 2 z + x } = \frac { z } { 2 x + y } = k $，
$ \therefore x = k ( 2 y + z ) $，$ y = k ( 2 z + x ) $，$ z = k ( 2 x + y ) $，
$ \therefore x + y + z = 3 k ( x + y + z ) $．
$ \because x $，$ y $，$ z $ 都为正数，$ \therefore k = \frac { 1 } { 3 } $．
(2) 证明：设 $ \frac { a + b } { a - b } = \frac { b + c } { 2 ( b - c ) } = \frac { c + a } { 3 ( c - a ) } = k $．
则 $ a + b = k ( a - b ) $，$ b + c = 2 k ( b - c ) $，$ c + a = 3 k ( c - a ) $．
$ \therefore 6 ( a + b ) = 6 k ( a - b ) $，$ 3 ( b + c ) = 6 k ( b - c ) $，
$ 2 ( c + a ) = 6 k ( c - a ) $．
$ \therefore 6 ( a + b ) + 3 ( b + c ) + 2 ( c + a ) = 0 $．
$ \therefore 8 a + 9 b + 5 c = 0 $．
满足 $ \frac { x } { 2 y + z } = \frac { y } { 2 z + x } = \frac { z } { 2 x + y } = k $，
$ \therefore x = k ( 2 y + z ) $，$ y = k ( 2 z + x ) $，$ z = k ( 2 x + y ) $，
$ \therefore x + y + z = 3 k ( x + y + z ) $．
$ \because x $，$ y $，$ z $ 都为正数，$ \therefore k = \frac { 1 } { 3 } $．
(2) 证明：设 $ \frac { a + b } { a - b } = \frac { b + c } { 2 ( b - c ) } = \frac { c + a } { 3 ( c - a ) } = k $．
则 $ a + b = k ( a - b ) $，$ b + c = 2 k ( b - c ) $，$ c + a = 3 k ( c - a ) $．
$ \therefore 6 ( a + b ) = 6 k ( a - b ) $，$ 3 ( b + c ) = 6 k ( b - c ) $，
$ 2 ( c + a ) = 6 k ( c - a ) $．
$ \therefore 6 ( a + b ) + 3 ( b + c ) + 2 ( c + a ) = 0 $．
$ \therefore 8 a + 9 b + 5 c = 0 $．
解析
【解析】
(1) 因为$x$，$y$，$z$都为正数，且$\frac{x}{2y + z}=\frac{y}{2z + x}=\frac{z}{2x + y}=k$，所以$x = k(2y + z)$，$y = k(2z + x)$，$z = k(2x + y)$。将这三个等式相加，得$x + y + z = 3k(x + y + z)$。
$\because x$，$y$，$z$都为正数，$x + y + z ≠ 0$，$\therefore k = \frac{1}{3}$。
(2) 设$\frac{a + b}{a - b}=\frac{b + c}{2(b - c)}=\frac{c + a}{3(c - a)}=k$，则$a + b = k(a - b)$，$b + c = 2k(b - c)$，$c + a = 3k(c - a)$。
将三个等式分别乘以6、3、2，得$6(a + b) = 6k(a - b)$，$3(b + c) = 6k(b - c)$，$2(c + a) = 6k(c - a)$。
将这三个等式相加，左边为$6(a + b) + 3(b + c) + 2(c + a)$，右边为$6k[(a - b)+(b - c)+(c - a)] = 0$。
展开左边得$6a + 6b + 3b + 3c + 2c + 2a = 8a + 9b + 5c$，故$8a + 9b + 5c = 0$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=\frac{1}{3}}$；
(2) 证明成立，即$\boldsymbol{8a + 9b + 5c=0}$
【知识点】
参数法解连比问题、比例的性质、等式的基本性质
【点评】
本题通过引入参数将连比等式转化为常规等式，考查了等式基本性质与比例知识的综合运用，需要掌握参数消元的技巧，提升了代数运算与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
(1) 因为$x$，$y$，$z$都为正数，且$\frac{x}{2y + z}=\frac{y}{2z + x}=\frac{z}{2x + y}=k$，所以$x = k(2y + z)$，$y = k(2z + x)$，$z = k(2x + y)$。将这三个等式相加，得$x + y + z = 3k(x + y + z)$。
$\because x$，$y$，$z$都为正数，$x + y + z ≠ 0$，$\therefore k = \frac{1}{3}$。
(2) 设$\frac{a + b}{a - b}=\frac{b + c}{2(b - c)}=\frac{c + a}{3(c - a)}=k$，则$a + b = k(a - b)$，$b + c = 2k(b - c)$，$c + a = 3k(c - a)$。
将三个等式分别乘以6、3、2，得$6(a + b) = 6k(a - b)$，$3(b + c) = 6k(b - c)$，$2(c + a) = 6k(c - a)$。
将这三个等式相加，左边为$6(a + b) + 3(b + c) + 2(c + a)$，右边为$6k[(a - b)+(b - c)+(c - a)] = 0$。
展开左边得$6a + 6b + 3b + 3c + 2c + 2a = 8a + 9b + 5c$，故$8a + 9b + 5c = 0$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=\frac{1}{3}}$；
(2) 证明成立，即$\boldsymbol{8a + 9b + 5c=0}$
【知识点】
参数法解连比问题、比例的性质、等式的基本性质
【点评】
本题通过引入参数将连比等式转化为常规等式，考查了等式基本性质与比例知识的综合运用，需要掌握参数消元的技巧，提升了代数运算与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
