1. 如图，△ABC 的顶点 C 与 AB 的中点 D 均在数轴上，且 C，D 两点在数轴上对应的数分别为 -3，1. 当 ∠BCA = 90°时，AB 的长为.

8

∵C，D在数轴上对应的数分别为-3，1，∴CD=|1 - (-3)|=4。∵D是AB中点，∠BCA=90°，∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD=AB/2，∴AB=2CD=2×4=8。

2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O. 若 ∠AOD = 120°，BD = 6，则 AB 的长为.

3

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=6，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，∴OA=OB=3。∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180° - ∠AOD=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3。

3. 如图，矩形 ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面 DE 平行于水平面 AF，交 CB 于点 E. 当水杯底面 AB 与水平面 AF 的夹角为 36°时，∠CED 的度数为.

54°

∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AB//CD。
∵DE//AF，AB与AF夹角为36°，∴AB与DE夹角为36°（两直线平行，同位角相等）。
∵AB//CD，∴CD与DE夹角∠CDE=36°（两直线平行，同位角相等）。
在Rt△CDE中，∠C=90°，∠CDE=36°，∴∠CED=90°-36°=54°。

4. 如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE = BD，连接 AE. 若 ∠ADB = 30°，则 ∠E =.

15°

在矩形ABCD中，AC=BD（矩形对角线相等），AD//BC。
∵CE=BD，∴CE=AC，△ACE为等腰三角形，∠CAE=∠E。
∵AD//BC，∠ADB=30°，∴∠DBC=∠ADB=30°（内错角相等）。
矩形对角线互相平分，OB=OC，∴∠OCB=∠DBC=30°（等边对等角），即∠ACB=30°。
∠ACE=180°-∠ACB=180°-30°=150°。
在△ACE中，∠E=(180°-∠ACE)/2=(180°-150°)/2=15°。

5. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线与 AB 的延长线交于点 E. 求证：△ACE 是等腰三角形.

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AB // CD$，$AC = BD$，$AB = CD$。
∵ $BD // CE$，且 $BE$ 是 $AB$ 的延长线，
∴ $BE // CD$。
∴ 四边形 $BECD$ 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴ $BD = CE$（平行四边形对边相等）。
∵ $AC = BD$，
∴ $AC = CE$。
∴ $△ ACE$ 是等腰三角形。

6. 提升题 如图，在 △ABC 中，CF ⊥ AB，垂足为 F，BE ⊥ AC，垂足为 E，M 为 BC 的中点，连接 MF，ME.
(1) 求证 ME = MF；
(2) 若 ∠ABC = 54°，∠ACB = 60°，求 ∠FME 的大小.

(1) 见证明过程；(2) 48°

(1) 证明：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴△BFC和△BEC均为直角三角形。
∵M为BC中点，
∴在Rt△BFC中，MF=1/2BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
在Rt△BEC中，ME=1/2BC。
∴ME=MF。
(2) 解：
在△ABC中，∠ABC=54°，∠ACB=60°，
∴∠A=180°-54°-60°=66°。
在Rt△BFC中，∠FBC=54°，MF=MB，
∴∠MFB=∠FBC=54°，
∴∠BMF=180°-54°-54°=72°。
在Rt△BEC中，∠ECB=60°，ME=MC，
∴∠MEC=∠ECB=60°，
∴∠EMC=180°-60°-60°=60°。
∵点M在BC上，∠BMC=180°，
∴∠FME=∠BMC-∠BMF-∠EMC=180°-72°-60°=48°。