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1. 下列函数中，属于正比例函数的是()
A.$ y = 2x + 3 $
B.$ y = \dfrac{5}{x} $
C.$ y = - 0.4x $
D.$ y = x^{2} $
A.$ y = 2x + 3 $
B.$ y = \dfrac{5}{x} $
C.$ y = - 0.4x $
D.$ y = x^{2} $
答案
C
解析
正比例函数的一般形式为$y = kx$，其中$k$是常数且$k ≠ 0$。
A选项是一次函数，但不是正比例函数；
B选项是反比例函数；
C选项符合正比例函数的一般形式；
D选项是二次函数。
A选项是一次函数，但不是正比例函数；
B选项是反比例函数；
C选项符合正比例函数的一般形式；
D选项是二次函数。
2. 一次函数 $ y = - \dfrac{1}{2}x + 2 $ 的图象()
A.经过第一、二、三象限
B.经过第一、二、四象限
C.经过第一、三、四象限
D.经过第二、三、四象限
A.经过第一、二、三象限
B.经过第一、二、四象限
C.经过第一、三、四象限
D.经过第二、三、四象限
答案
B
解析
对于一次函数 $y=kx+b$（$k$，$b$ 为常数，$k≠0$），当 $k＞0$ 时，函数从左到右上升，图象经过一、三象限；当 $k＜0$ 时，函数从左到右下降，图象经过二、四象限；当 $b＞0$ 时，图象与 $y$ 轴正半轴相交；当 $b = 0$ 时，图象过原点；当 $b＜0$ 时，图象与 $y$ 轴负半轴相交。在函数 $y = - \dfrac{1}{2}x + 2$ 中，$k=-\dfrac{1}{2}＜0$，$b = 2＞0$，所以函数图象经过一、二、四象限。
3. 在物理学中，弹簧伸长的长度与物体所受到的拉力成正比. 已知一种弹簧秤挂物后最大长度不能超过 $ 17\ \mathrm{cm} $，不挂物时弹簧的长为 $ 12\ \mathrm{cm} $，每挂重 $ 1\ \mathrm{kg} $ 物体，弹簧伸长 $ 0.5\ \mathrm{cm} $. 在弹性限度内，挂物后弹簧的长度 $ y $(单位：$\mathrm{cm}$)关于所挂物体的质量 $ x $(单位：$\mathrm{kg}$)的函数解析式中自变量 $ x $ 的取值范围是()
A.$ x ＞ 10 $
B.$ x ＜ 10 $
C.$ 0 ≤ x ≤ 10 $
D.$ x ≥ 10 $
A.$ x ＞ 10 $
B.$ x ＜ 10 $
C.$ 0 ≤ x ≤ 10 $
D.$ x ≥ 10 $
答案
C
解析
已知不挂物时弹簧的长度为 $12 \mathrm{cm}$，每挂重 $1 \mathrm{kg}$ 物体，弹簧伸长 $0.5 \mathrm{cm}$。
因此，挂物后弹簧的长度 $y$ 与所挂物体的质量 $x$ 之间的函数解析式为：
$y = 12 + 0.5x$，
弹簧的最大长度不能超过 $17 \mathrm{cm}$，所以有：
$12 + 0.5x ≤ 17$，
解这个不等式：
$0.5x ≤ 5$，
$x ≤ 10$，
同时，由于质量 $x$ 不能为负，所以 $x$ 的取值范围是：
$0 ≤ x ≤ 10$。
因此，挂物后弹簧的长度 $y$ 与所挂物体的质量 $x$ 之间的函数解析式为：
$y = 12 + 0.5x$，
弹簧的最大长度不能超过 $17 \mathrm{cm}$，所以有：
$12 + 0.5x ≤ 17$，
解这个不等式：
$0.5x ≤ 5$，
$x ≤ 10$，
同时，由于质量 $x$ 不能为负，所以 $x$ 的取值范围是：
$0 ≤ x ≤ 10$。
4. 在平面直角坐标系中，将一次函数 $ y = 2x - 1 $ 的图象沿 $ y $ 轴向下平移 $ 3 $ 个单位长度，得到的新的一次函数的图象与 $ y $ 轴的交点坐标是.
答案
$(0, -4)$
解析
将一次函数$y = 2x - 1$的图象沿$y$轴向下平移$3$个单位长度，根据函数图象平移规律“上加下减”，得到新的函数解析式为$y = 2x - 1 - 3 = 2x - 4$。令$x = 0$，则$y = 2×0 - 4 = -4$，所以新函数与$y$轴的交点坐标是$(0, -4)$。
5. 如图，若一次函数 $ y = kx + b ( k ≠ 0 ) $ 的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A ( 3,0 ) $，$ B ( 0,\sqrt{3} ) $，则关于 $ x $ 的不等式 $ kx + b ＞ 0 $ 的解集是.
答案
$x ＜ 3$
解析
因为一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交于点$A(3,0)$，且由图象可知函数值$y$随$x$的增大而减小，所以当$x ＜ 3$时，$y=kx+b ＞ 0$，即不等式$kx + b ＞ 0$的解集是$x ＜ 3$。
6. 若关于 $ x $ 的一次函数 $ y = ( m + 2 ) x + m - 6 $ 的图象不经过第二象限，则所有满足条件的整数 $ m $ 的值的和为.
答案
20
解析
一次函数$y=(m+2)x+m-6$的图象不经过第二象限，需满足：
1. 斜率$k=m+2＞0$，解得$m＞-2$；
2. 截距$b=m-6≤0$，解得$m≤6$。
综上，$-2＜m≤6$，整数$m$为$-1,0,1,2,3,4,5,6$。其和为$(-1)+0+1+2+3+4+5+6=20$。
1. 斜率$k=m+2＞0$，解得$m＞-2$；
2. 截距$b=m-6≤0$，解得$m≤6$。
综上，$-2＜m≤6$，整数$m$为$-1,0,1,2,3,4,5,6$。其和为$(-1)+0+1+2+3+4+5+6=20$。
7. 若一次函数 $ y = kx + \sqrt{3} $ 的图象如图所示，则 $ k = $.
答案
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
由图可知，一次函数$y = kx + \sqrt{3}$与y轴交于点B，当$x=0$时，$y=\sqrt{3}$，所以点B坐标为$(0,\sqrt{3})$。设直线与x轴交于点A，直线与x轴正方向夹角为$30°$，在直角三角形AOB中，$∠ OAB = 30°$，$OB=\sqrt{3}$。因为$\tan30°=\frac{OB}{OA}$，所以$OA=\frac{OB}{\tan30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3$，则点A坐标为$(-3,0)$。将$A(-3,0)$代入$y = kx + \sqrt{3}$，得$0=-3k+\sqrt{3}$，解得$k=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
8. 提升题 共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有 $ A $，$ B $ 两种品牌的共享电动车，图象反映了收费 $ y $(单位：元)与骑行时间 $ x $(单位：$\mathrm{min}$)的关系，其中 $ A $ 品牌共享电动车的收费方式对应 $ y_{1} $，$ B $ 品牌共享电动车的收费方式对应 $ y_{2} $. 当 $ x = \_\_\_\_\_\_\mathrm{min}$ 时，两种品牌共享电动车收费相差 $ 4 $ 元.
答案
5或40
解析
由图像可知，$y_2$是过原点的直线，设$y_2=k_2x$，过点$(20,8)$，则$8=20k_2$，解得$k_2=0.4$，故$y_2=0.4x$。
$y_1$为分段函数：当$0≤ x≤10$时，$y_1=6$；当$x＞10$时，设$y_1=k_1x+b$，过点$(10,6)$和$(20,8)$，则$\begin{cases}6=10k_1+b\\8=20k_1+b\end{cases}$，解得$k_1=0.2$，$b=4$，故$y_1=0.2x+4(x＞10)$。
分情况讨论：
1. 当$0≤ x≤10$时，$|6 - 0.4x|=4$，解得$x=5$（$x=25$舍去）；
2. 当$x＞10$时，$|(0.2x + 4)-0.4x|=4$，即$|-0.2x + 4|=4$，解得$x=40$（$x=0$舍去）。
综上，$x=5$或$40$。
$y_1$为分段函数：当$0≤ x≤10$时，$y_1=6$；当$x＞10$时，设$y_1=k_1x+b$，过点$(10,6)$和$(20,8)$，则$\begin{cases}6=10k_1+b\\8=20k_1+b\end{cases}$，解得$k_1=0.2$，$b=4$，故$y_1=0.2x+4(x＞10)$。
分情况讨论：
1. 当$0≤ x≤10$时，$|6 - 0.4x|=4$，解得$x=5$（$x=25$舍去）；
2. 当$x＞10$时，$|(0.2x + 4)-0.4x|=4$，即$|-0.2x + 4|=4$，解得$x=40$（$x=0$舍去）。
综上，$x=5$或$40$。
