21. 提升题 我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”。
如图①，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$∠ B + ∠ D = 180^{\circ}$，则四边形$ABCD$叫作“等补四边形”。
【概念理解】
(1)①在等补四边形$ABCD$中，若$∠ C = 50^{\circ}$，则$∠ A =$；
②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是()
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
【性质探究】
(2)如图①，在等补四边形$ABCD$中，$AB = AD$，连接$AC$，$AC$是否平分$∠ BCD$？请说明理由。
【知识运用】
(3)如图②，在四边形$ABCD$中，$BD$平分$∠ ABC$，$AD = CD$，$BC ＞ BA$。求证：四边形$ABCD$是等补四边形。
【拓展应用】
(4)将斜边相等的两块三角尺按图③所示位置放置，其中含$45^{\circ}$角的三角尺$ABC$的斜边与含$30^{\circ}$角的三角尺$ADC$的斜边重合，$B$，$D$位于$AC$的两侧，$∠ ACD = 30^{\circ}$。若$AB = BC = 4$，连接$BD$，则$BD$的长为。

(1)①130°
②D
(2)AC平分∠BCD。理由如下：
在CD的延长线上截取DF=BC，连接AF。
∵∠B + ∠ADC=180°，∠ADC + ∠ADF=180°，∴∠B=∠ADF。
∵AB=AD，BC=DF，∴△ABC≌△ADF(SAS)。
∴AC=AF，∠ACB=∠F。
∵AC=AF，∴∠ACD=∠F。
∴∠ACB=∠ACD，即AC平分∠BCD。
(3)在BC上截取BE=BA，连接DE。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD。
∵BA=BE，BD=BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)。
∴AD=ED，∠BAD=∠BED。
∵AD=CD，∴ED=CD。∴∠C=∠DEC。
∵∠BED + ∠DEC=180°，∴∠BAD + ∠C=180°。
∵AD=CD，∴四边形ABCD是等补四边形。
(4)2√3 + 2