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1. 如图，把两根木条 $ AB $ 和 $ AC $ 的一端 $ A $ 用螺栓固定在一起，木条 $ AC $ 自由转动至 $ AC' $ 的位置。在转动过程中，下面的量是常量的是()
A.$ ∠ BAC $ 的度数
B.$ BC $ 的长度
C.$ △ ABC $ 的面积
D.$ AC $ 的长度
A.$ ∠ BAC $ 的度数
B.$ BC $ 的长度
C.$ △ ABC $ 的面积
D.$ AC $ 的长度
答案
D
解析
在木条 $ AC $ 自由转动至 $ AC' $ 的过程中：
$ ∠ BAC $ 的度数是变化的，因此不是常量。
$ BC $ 的长度会随着 $ ∠ BAC $ 的变化而变化，因此不是常量。
$ △ ABC $ 的面积也会随着 $ ∠ BAC $ 的变化而变化，因此不是常量。
$ AC $ 的长度是固定的，因为木条 $ AC $ 的长度不变，因此是常量。
所以在转动过程中，只有 $ AC $ 的长度是常量。
$ ∠ BAC $ 的度数是变化的，因此不是常量。
$ BC $ 的长度会随着 $ ∠ BAC $ 的变化而变化，因此不是常量。
$ △ ABC $ 的面积也会随着 $ ∠ BAC $ 的变化而变化，因此不是常量。
$ AC $ 的长度是固定的，因为木条 $ AC $ 的长度不变，因此是常量。
所以在转动过程中，只有 $ AC $ 的长度是常量。
2. 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水槽内匀速注水，直到水槽注满为止。能刻画水杯中水面的高度 $ h $(单位：$ cm $)与注水时间 $ t $(单位：$ min $)的函数关系的图象大致是()
A
B
C
D
A
B
C
D
答案
C
解析
初始时水杯中有部分水，故h初始值大于0，排除A、D；向水槽注水时，在水槽水面未达到水杯初始水面高度前，水杯内水面高度h不变（水平线段）；当水槽水面超过水杯初始水面后，水杯内水面随注水同步上升（上升线段）；水槽注满后，水面高度不再变化（水平线段）。符合此过程的为C。
3. 提升题 如图①，动点 $ P $ 从菱形 $ ABCD $ 的顶点 $ A $ 出发，沿边 $ AB \to BC $ 匀速运动，运动到点 $ C $ 时停止。设点 $ P $ 的运动路程为 $ x $，$ PO $ 的长为 $ y $，$ y $ 与 $ x $ 的函数图象如图②所示。当 $ P $ 运动到 $ BC $ 的中点时，$ PO $ 的长度等于()
A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 2\sqrt{2} $
D.$ \sqrt{5} $
A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 2\sqrt{2} $
D.$ \sqrt{5} $
答案
D
解析
设菱形对角线交点为O，AC与BD交于O。由图②知，当P在A点时，PO=AO=4，故AC=8，AO=4。设BO=k，菱形边长为a，a=√(AO²+BO²)=√(16+k²)。
当P在AB上运动时，PO最小值为2（图②虚线），即O到AB距离为2。由面积法：S△AOB=1/2·AO·BO=1/2·AB·2，得4k=2a，即2k=a。又a=√(16+k²)，联立得(2k)²=16+k²，3k²=16（舍）。
重新分析：图②中P在B点时PO=2，即BO=2，此时a=√(4²+2²)=2√5。B(0,2)，C(4,0)，BC中点坐标为(2,1)，PO=√(2²+1²)=√5。
当P在AB上运动时，PO最小值为2（图②虚线），即O到AB距离为2。由面积法：S△AOB=1/2·AO·BO=1/2·AB·2，得4k=2a，即2k=a。又a=√(16+k²)，联立得(2k)²=16+k²，3k²=16（舍）。
重新分析：图②中P在B点时PO=2，即BO=2，此时a=√(4²+2²)=2√5。B(0,2)，C(4,0)，BC中点坐标为(2,1)，PO=√(2²+1²)=√5。
4. 若变量 $ x $ 与 $ y $ 之间的函数关系是 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $，则自变量 $ x = -2 $ 时的函数值为。
答案
（此处虽非选择题但按要求填最终计算结果对应的形式即数值即可，因题目要求如此，所以填）$1$
解析
将 $x = -2$ 代入函数关系式 $y = \frac{1}{2}x^2 - 1$ 中，得：
$y = \frac{1}{2} × (-2)^2 - 1$
$y = \frac{1}{2} × 4 - 1$
$y = 2 - 1$
$y = 1$
$y = \frac{1}{2} × (-2)^2 - 1$
$y = \frac{1}{2} × 4 - 1$
$y = 2 - 1$
$y = 1$
5. 为了美化校园，学校计划修建 $ 6 $ 个完全相同的矩形花坛。若每个花坛的一条边长为 $ 10 m $，另一条边长为 $ x m $，花坛总面积为 $ S m^2 $，则 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系可表示为。
答案
$S = 60x$。
解析
每个花坛为矩形，一条边长为$10m$，另一条边长为$xm$，所以每个花坛的面积为$10x m^2$。
由于有$6$个完全相同的花坛，所以总面积$S$为$6$个花坛面积之和，即$S = 6 × 10x = 60x$。
由于有$6$个完全相同的花坛，所以总面积$S$为$6$个花坛面积之和，即$S = 6 × 10x = 60x$。
6. 某天早晨，王老师从家出发，驾车前往学校，途中在路旁一家饭店吃早餐，王老师从家到学校这一过程中行驶路程 $ s $(单位：$ km $)与时间 $ t $(单位：$ min $)之间的关系如图所示。王老师吃早餐以前的驾车速度(填“大于”“小于”或“等于”)吃完早餐以后的驾车速度。
答案
小于
解析
由图可知，吃早餐前：时间从0到10min，路程从0到5km，速度为5÷10=0.5km/min；吃完早餐后：时间从20到25min，路程从5到10km，速度为(10-5)÷(25-20)=1km/min。0.5＜1，所以吃早餐以前的驾车速度小于吃完早餐以后的驾车速度。
