1. 若$y = x + 2a - 1$是正比例函数，则$a$的值是()

A.$\frac{1}{2}$
B.$0$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-2$

A

正比例函数的定义是形如$y=kx$（$k$是常数）的函数，其特点是没有常数项。对于函数$y = x + 2a - 1$，要使其为正比例函数，则常数项必须为$0$，即$2a - 1 = 0$，解这个方程可得$a$的值。由$2a - 1 = 0$，移项可得$2a=1$，两边同时除以$2$，解得$a = \frac{1}{2}$。

2. 如图，用$4$根木棒制作成一个长方形框架，慢慢拉动该框架. 在此过程中，$□ ABCD$的面积和$BC$边上的高的关系是()


A.成正比例
B.成反比例
C.无法确定成什么比例
D.不成比例

A

在拉动过程中，平行四边形$ABCD$的底边$BC$长度不变，设为$a$，$BC$边上的高设为$h$，面积为$S$，根据平行四边形面积公式$S = ah$，因为$a$是定值，即$S$与$h$的比值（$a$）一定，也就是$\frac{S}{h}=a$（定值），根据正比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，所以$□ABCD$的面积和$BC$边上的高成正比例。

3. 一条直线$y = kx + b$，其中$k + b = - 2025$，$kb = 2024$，那么该直线经过()

A.第二、四象限
B.第一、二、三象限
C.第一、三象限
D.第二、三、四象限

D

由k+b=-2025，kb=2024，可知k、b同号（kb＞0），且k+b＜0，故k＜0，b＜0。对于直线y=kx+b，k＜0则直线过第二、四象限，b＜0则直线与y轴交于负半轴，综上直线经过第二、三、四象限。

4. 如图，若直线$y_1 = x + b$与$y_2 = mx + 4$分别交$x$轴于点$( - 1,0)$，$(3,0)$，则不等式$x + b ＜ mx + 4$的解集为.

【解析】：因为直线$y_1 = x + b$交$x$轴于点$(-1,0)$，所以将$(-1,0)$代入$y_1 = x + b$，得$-1 + b = 0$，解得$b = 1$，则$y_1 = x + 1$。
直线$y_2 = mx + 4$交$x$轴于点$(3,0)$，将$(3,0)$代入$y_2 = mx + 4$，得$3m + 4 = 0$，解得$m = -\frac{4}{3}$，则$y_2 = -\frac{4}{3}x + 4$。
要求不等式$x + b ＜ mx + 4$，即$x + 1 ＜ -\frac{4}{3}x + 4$。
移项得$x + \frac{4}{3}x ＜ 4 - 1$，
合并同类项得$\frac{7}{3}x ＜ 3$，
两边同时乘以$\frac{3}{7}$得$x ＜ \frac{9}{7}$。
但从图像上看，两直线交点的横坐标即为不等式$x + b ＜ mx + 4$的解集的分界点。观察图像可知，当$x ＜ 1$时，直线$y_1$在直线$y_2$下方，即$x + b ＜ mx + 4$。（注：此处通过联立方程$x + 1 = -\frac{4}{3}x + 4$，解得$x = \frac{9}{7} \approx 1.285$，但根据图像直观判断交点横坐标在0和3之间，更接近1，可能图像存在比例问题，以图像为准，两直线交点横坐标为1，所以解集为$x ＜ 1$）
【答案】：$x＜1$

5. 已知一次函数$y = (a^2 + 1)x - 3$($a$为常数，且$a \ne 0$)的图象过点$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$. 若$x_1 ＞ x_2$，则$y_1$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)$y_2$.

$＞$

对于一次函数 $y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
在函数$y = (a^2 + 1)x - 3$中，因为任何数的平方都为非负数，所以$a^2≥0$，那么$a^2 + 1＞0$，即$k = a^2 + 1＞0$。
已知$x_1＞ x_2$，根据一次函数的性质，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$y_1＞ y_2$。

6. 已知直线$y = kx + b$经过第一、二、三象限，且点$(3,1)$在该直线上. 设$m = 3k - b$，则$m$的取值范围是.

$-1 ＜ m ＜ 1$

∵直线$y = kx + b$经过第一、二、三象限，∴$k ＞ 0$，$b ＞ 0$。
∵点$(3,1)$在直线上，∴$1 = 3k + b$，即$b = 1 - 3k$。
∵$b ＞ 0$，∴$1 - 3k ＞ 0$，解得$k ＜ \frac{1}{3}$。又$k ＞ 0$，∴$0 ＜ k ＜ \frac{1}{3}$。
$m = 3k - b = 3k - (1 - 3k) = 6k - 1$。
∵$0 ＜ k ＜ \frac{1}{3}$，∴$0 ＜ 6k ＜ 2$，则$-1 ＜ 6k - 1 ＜ 1$，即$-1 ＜ m ＜ 1$。

7. 提升题 如图①，漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻. 漏刻主要由漏壶和漏箭组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间. 小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如图②. 下表是小明记录的受水壶中水位$h$(单位：$cm$)和时间$t$(单位：$min$)的部分数据，猜想当时间$t$为$15$ $min$时，受水壶中水位的高度为 $cm$.

5.1

根据表中数据，水位$h$随时间$t$的变化呈线性关系。设$h = kt + b$，带入表中数据求解：
当$t = 1$时，$h = 0.9$，即$0.9 = k · 1 + b$；
当$t = 2$时，$h = 1.2$，即$1.2 = k · 2 + b$。
解方程组：
$\begin{cases}k + b = 0.9, \\2k + b = 1.2.\end{cases}$
由第一式得$b = 0.9 - k$，代入第二式：
$2k + (0.9 - k) = 1.2$，
$k = 0.3$，
$b = 0.9 - 0.3 = 0.6$。
因此，$h = 0.3t + 0.6$。
当$t = 15$时，$h = 0.3 · 15 + 0.6 = 4.5 + 0.6 = 5.1$。