(1)学校组织活动，要把 40 名学生和 32 名老师分别分成人数相同的小组，每组最多有多少人？这道题其实就是求 40 和 32 的()。

A.因数
B.公因数
C.最大公因数

C

要把40名学生和32名老师分别分成人数相同的小组，每组人数必须是40和32的公因数，题目问每组最多有多少人，所以是求40和32的最大公因数。

(2)小明有一张长 28 cm、宽 16 cm 的彩纸，他想把这张彩纸剪成同样大小的正方形纸片(边长为整厘米数)，且没有剩余。剪成的正方形边长最大是()cm。

A.16
B.28
C.4

C

要想剪成同样大小的正方形纸片且无剩余，正方形边长必须是长 28cm 和宽 16cm 的公因数，要求边长最大是多少，就是求 28 和 16 的最大公因数。可用分解质因数的方法求 28 和 16 的最大公因数，$28 = 2×2×7$，$16 = 2×2×2×2$，所以 28 和 16 的最大公因数是$2×2 = 4$，即正方形边长最大是 4cm。

2. 下图是一间贮藏室的平面示意图。如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），那么可以选择边长是多少分米的地砖？地砖边长最大是多少分米？

可以选择边长是1分米、2分米、4分米、8分米的地砖，地砖边长最大是8分米。

贮藏室地面长24dm，宽16dm。要铺满且地砖为整块，地砖边长需是24和16的公因数。24的因数：1,2,3,4,6,8,12,24；16的因数：1,2,4,8,16。公因数有1,2,4,8。最大公因数是8。故可选择边长1,2,4,8dm的地砖，最大边长8dm。

3. 窗花是粘在窗纸或窗户玻璃上的剪纸。李阿姨买了一些窗花，花了 48 元，王阿姨也买了一些同样的窗花，花了 54 元。如果这些窗花的单价都相同，算一算它的单价最高是多少元（单价是整数）。以这样的单价，两位阿姨分别买了几张窗花？

单价最高6元，李阿姨买了8张，王阿姨买了9张（题目未给出选项，按照要求这里只规范回答格式不给出选项式答案内容，若作为选择对应答案按题目选项顺序）

根据题意，窗花的单价是48和54的公因数，要求最高单价，即求48和54的最大公因数。
用分解质因数的方法求48和54的最大公因数，$48=2×2×2×2×3$，$54=2×3×3×3$，
所以48和54的最大公因数是$2×3 = 6$，即单价最高是6元。
李阿姨买的窗花数量为$48÷6 = 8$张，王阿姨买的窗花数量为$54÷6 = 9$张。

4. 李师傅打算将两根分别长 16 m 和 12 m 的绳子截成同样长的若干段。如果两根绳子都正好没有剩余，一共有几种截法？每段绳子最长是几米？两根绳子至少可以截成几段？

一共有$3$种截法，每段绳子最长是$4$米，两根绳子至少可以截成$7$段；本题无选项。

本题可根据最大公因数的相关知识来求解。
1. 求截法的种类：
要使两根绳子都正好没有剩余，则每段的长度必须是$16$和$12$的公因数。
先分别对$16$和$12$分解质因数：
$16 = 2×2×2×2$；
$12 = 2×2×3$。
$16$的因数有：$1, 2, 4, 8, 16$；
$12$的因数有：$1, 2, 3, 4, 6, 12$。
所以$16$和$12$的公因数有$1, 2, 4$，共$3$种，即一共有$3$种截法。
2. 求每段绳子的最长长度：
$16$和$12$的最大公因数为$2×2 = 4$，所以每段绳子最长是$4$米。
3. 求两根绳子至少可以截成的段数：
分别计算两根绳子按每段$4$米截时的段数，再将段数相加。
$16÷4 = 4$（段）；
$12÷4 = 3$（段）；
一共截成$4 + 3 = 7$（段）。

5. 提升题 有一块长方体木料（见下图），长7 dm，宽 5 dm，高 4.5 dm。如果把它锯成同样大小的正方体木块，最大可以锯成棱长是多少厘米的正方体木块且不浪费木料？可以锯成多少块？

最大棱长5厘米，可以锯成1260块。

将长、宽、高单位统一为厘米：7dm=70cm，5dm=50cm，4.5dm=45cm。求70、50、45的最大公因数，分解质因数：70=2×5×7，50=2×5×5，45=3×3×5，最大公因数为5，即正方体最大棱长5cm。可锯块数：(70÷5)×(50÷5)×(45÷5)=14×10×9=1260块。