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10. 某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查. 下面是通过简单随机抽样调查，获得的50个家庭去年的月均用水量（单位：m³）数据.
3.9 5.1 7.7 11.3 1.5 11.1 7.3 7.9 5.6 4.5
10.7 24.8 11.4 6.2 10.1 2.1 6.9 17.5 3.1 5.4
22.2 18.0 13.6 15.9 16.7 10.2 2.0 4.9 5.2 12.0
12.5 13.8 3.5 5.7 4.8 7.1 6.2 5.9 3.4 8.9
2.4 14.4 4.2 6.4 6.8 7.3 5.5 9.7 8.3 19.0
（1）选择合适的组距和组数，列出样本频数分布表，画出频数分布直方图. 你能从频数分布直方图中得到什么信息？
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费. 若要使60%的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该定为多少？为什么？
3.9 5.1 7.7 11.3 1.5 11.1 7.3 7.9 5.6 4.5
10.7 24.8 11.4 6.2 10.1 2.1 6.9 17.5 3.1 5.4
22.2 18.0 13.6 15.9 16.7 10.2 2.0 4.9 5.2 12.0
12.5 13.8 3.5 5.7 4.8 7.1 6.2 5.9 3.4 8.9
2.4 14.4 4.2 6.4 6.8 7.3 5.5 9.7 8.3 19.0
（1）选择合适的组距和组数，列出样本频数分布表，画出频数分布直方图. 你能从频数分布直方图中得到什么信息？
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费. 若要使60%的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该定为多少？为什么？
答案
10. 略
解析
【分析】
（1）制作频数分布表和直方图的思路：首先计算数据的极差（最大值减最小值），根据极差选择合适的组距，进而确定组数；然后将数据分组，统计每组内数据的频数，列出频数分布表，再依据表格绘制直方图；最后通过直方图直观分析数据的分布特征。
（2）解决用水量标准问题的思路：要使60%的家庭水费不受影响，需先计算出对应的家庭数量（50×60%=30户），再通过累计频数找到刚好覆盖30户的用水量区间，确定该区间的上限作为标准，因为累计到该区间时，不超过此标准的家庭数恰好为60%。
【解析】
（1）① 计算极差：
观察数据可得，最大值为24.8，最小值为1.5，极差 = 24.8 - 1.5 = 23.3。
② 确定组距与组数：
选择组距为4，组数 = 23.3÷4≈5.83，取整数组数为6组，分组为：$1.0≤ x＜5.0$，$5.0≤ x＜9.0$，$9.0≤ x＜13.0$，$13.0≤ x＜17.0$，$17.0≤ x＜21.0$，$21.0≤ x＜25.0$（每组含左端点，不含右端点）。
③ 统计频数，制作频数分布表：
| 月均用水量（$m^3$） | 划记 | 频数 |
|----------------------|------|------|
| $1.0≤ x＜5.0$ | 正正丅 | 12 |
| $5.0≤ x＜9.0$ | 正正正丅 | 18 |
| $9.0≤ x＜13.0$ | 正丅 | 9 |
| $13.0≤ x＜17.0$ | 正 | 5 |
| $17.0≤ x＜21.0$ | 丅 | 3 |
| $21.0≤ x＜25.0$ | 丅 | 2 |
| 合计 | | 50 |
④ 绘制频数分布直方图：以月均用水量为横轴，频数为纵轴，每组对应一个矩形，矩形高度为该组频数，宽度为组距4（图形略）。
从直方图中可得到的信息：大部分家庭月均用水量在$5.0≤ x＜9.0$区间内；月均用水量超过21$m^3$的家庭数量极少；家庭月均用水量整体呈左偏分布，低用水量家庭占比更大等。
（2）计算不受影响的家庭数：$50×60\%=30$（户）。
查看累计频数：$1.0≤ x＜5.0$的频数为12，$5.0≤ x＜9.0$的频数为18，累计频数$12+18=30$，即月均用水量不超过9.0$m^3$的家庭有30户，恰好占总家庭数的60%。因此将家庭月均用水量定为9.0$m^3$，可使60%的家庭水费支出不受影响。
【答案】
（1）频数分布表如上，频数分布直方图略；从直方图中可知大部分家庭月均用水量在$5.0∼9.0m^3$之间，高用水量家庭占比极少等（合理即可）。
（2）家庭月均用水量应该定为$9.0m^3$，因为月均用水量不超过$9.0m^3$的家庭有30户，占总家庭数的60%，符合要求。
【知识点】
频数分布表与直方图；数据统计分析
【点评】
本题考查了统计图表的制作与应用，重点在于掌握极差、组距、组数的计算逻辑，以及利用累计频数解决实际决策问题，能帮助学生理解统计数据在生活中的指导意义，提升数据分析与应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）制作频数分布表和直方图的思路：首先计算数据的极差（最大值减最小值），根据极差选择合适的组距，进而确定组数；然后将数据分组，统计每组内数据的频数，列出频数分布表，再依据表格绘制直方图；最后通过直方图直观分析数据的分布特征。
（2）解决用水量标准问题的思路：要使60%的家庭水费不受影响，需先计算出对应的家庭数量（50×60%=30户），再通过累计频数找到刚好覆盖30户的用水量区间，确定该区间的上限作为标准，因为累计到该区间时，不超过此标准的家庭数恰好为60%。
【解析】
（1）① 计算极差：
观察数据可得，最大值为24.8，最小值为1.5，极差 = 24.8 - 1.5 = 23.3。
② 确定组距与组数：
选择组距为4，组数 = 23.3÷4≈5.83，取整数组数为6组，分组为：$1.0≤ x＜5.0$，$5.0≤ x＜9.0$，$9.0≤ x＜13.0$，$13.0≤ x＜17.0$，$17.0≤ x＜21.0$，$21.0≤ x＜25.0$（每组含左端点，不含右端点）。
③ 统计频数，制作频数分布表：
| 月均用水量（$m^3$） | 划记 | 频数 |
|----------------------|------|------|
| $1.0≤ x＜5.0$ | 正正丅 | 12 |
| $5.0≤ x＜9.0$ | 正正正丅 | 18 |
| $9.0≤ x＜13.0$ | 正丅 | 9 |
| $13.0≤ x＜17.0$ | 正 | 5 |
| $17.0≤ x＜21.0$ | 丅 | 3 |
| $21.0≤ x＜25.0$ | 丅 | 2 |
| 合计 | | 50 |
④ 绘制频数分布直方图：以月均用水量为横轴，频数为纵轴，每组对应一个矩形，矩形高度为该组频数，宽度为组距4（图形略）。
从直方图中可得到的信息：大部分家庭月均用水量在$5.0≤ x＜9.0$区间内；月均用水量超过21$m^3$的家庭数量极少；家庭月均用水量整体呈左偏分布，低用水量家庭占比更大等。
（2）计算不受影响的家庭数：$50×60\%=30$（户）。
查看累计频数：$1.0≤ x＜5.0$的频数为12，$5.0≤ x＜9.0$的频数为18，累计频数$12+18=30$，即月均用水量不超过9.0$m^3$的家庭有30户，恰好占总家庭数的60%。因此将家庭月均用水量定为9.0$m^3$，可使60%的家庭水费支出不受影响。
【答案】
（1）频数分布表如上，频数分布直方图略；从直方图中可知大部分家庭月均用水量在$5.0∼9.0m^3$之间，高用水量家庭占比极少等（合理即可）。
（2）家庭月均用水量应该定为$9.0m^3$，因为月均用水量不超过$9.0m^3$的家庭有30户，占总家庭数的60%，符合要求。
【知识点】
频数分布表与直方图；数据统计分析
【点评】
本题考查了统计图表的制作与应用，重点在于掌握极差、组距、组数的计算逻辑，以及利用累计频数解决实际决策问题，能帮助学生理解统计数据在生活中的指导意义，提升数据分析与应用能力。
【难度系数】
0.6
