9. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，延长 $CB$ 到点 $E$，使 $BE = AD$，连接 $DE$，交 $AB$ 于点 $M$. 若 $N$ 是 $CD$ 的中点，且 $MN = 5$，$BE = 2$，求 $BC$ 的长.

9.
∵AD//BC，
∴∠A=∠MBE，∠ADM=∠E.
∵AD=BE，
∴△AMD≌△BME（ASA）.
∴MD=ME.
∵M为AB的中点，
∴MN为△DEC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$EC.
∴EC=2MN=2×5=10.
∴BC=EC - EB=10 - 2=8.
∴BC的长是8

【分析】
首先，根据梯形$AD// BC$的性质，可得到两组内错角相等；结合已知$AD=BE$，利用ASA可证明$△ AMD≌△ BME$，从而得出$M$是$DE$的中点。接着，因为$N$是$CD$的中点，所以$MN$是$△ DEC$的中位线，根据三角形中位线定理，可求出$EC$的长度，最后用$EC$减去$BE$的长度即可得到$BC$的长。
【解析】
∵$AD// BC$，
∴$∠ A=∠ MBE$，$∠ ADM=∠ E$.
在$△ AMD$和$△ BME$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ MBE\\AD=BE\\∠ ADM=∠ E\end{array} $
∴$△ AMD≌△ BME$（ASA）.
∴$MD=ME$，即$M$为$DE$的中点.
∵$N$是$CD$的中点，
∴$MN$是$△ DEC$的中位线.
∴$MN=\frac{1}{2}EC$.
∵$MN=5$，
∴$EC=2MN=2×5=10$.
又
∵$BE=2$，
∴$BC=EC - BE=10 - 2=8$.
【答案】
$BC$的长为8
【知识点】
三角形全等判定，三角形中位线定理，梯形的性质
【点评】
本题综合考查梯形性质、三角形全等判定与性质及三角形中位线定理，解题关键是通过全等证明得到中点，进而利用中位线定理建立线段间的数量关系求解。
【难度系数】
0.6

10. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，$∠ ABC$ 和 $∠ BCD$ 的平分线的交点 $E$ 在 $AD$ 上.
（1）求证：$E$ 是 $AD$ 的中点.
（2）求证：$BC = AB + CD$.

10.（1）如图，延长CE交BA的延长线于点F.
∵BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即∠ECB=$\frac{1}{2}$∠DCB，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠CBA. 又
∵AB//CD，
∴∠DCB+∠CBA=180°.
∴∠ECB+∠EBC=90°.
∴∠CEB=90°，即BE⊥EC.
∵AB//CD，
∴∠DCE=∠F. 又
∵∠DCE=∠ECB，
∴∠F=∠ECB.
∴BF=BC，EC=EF.
∵∠DEC=∠AEF，
∴△DCE≌△AFE（SAS）.
∴DE=AE，即E是AD的中点且DC=AF
（2）
∵BC=BF，
∴BC=AB+AF.
∵CD=AF，
∴BC=AB+CD

【分析】
（1）要证明E是AD的中点，可通过构造全等三角形来推导DE=AE。已知AB//CD，且CE、BE为角平分线，延长CE交BA的延长线于点F，利用平行线性质和角平分线定义可推出△BCF为等腰三角形，BE⊥CF，进而得到EC=EF，再结合对顶角相等、内错角相等证明△DCE≌△AFE，即可证得DE=AE，说明E是AD中点。
（2）要证明BC=AB+CD，可借助（1）中全等三角形的结论得到CD=AF，再结合（1）中推出的BC=BF，通过BF=AB+AF进行等量代换，即可得出结论。
【解析】
（1）如图，延长CE交BA的延长线于点F。
∵BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ DCB$，$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ CBA$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ DCB+∠ CBA=180°$，
∴$∠ ECB+∠ EBC=\frac{1}{2}(∠ DCB+∠ CBA)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴$∠ CEB=180°-(∠ ECB+∠ EBC)=90°$，即$BE⊥ EC$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ DCE=∠ F$，
又
∵$∠ DCE=∠ ECB$，
∴$∠ F=∠ ECB$，
∴$BF=BC$。
∵$BE⊥ EC$，
∴$EC=EF$（等腰三角形三线合一）。
在$△ DCE$和$△ AFE$中，
$\begin{cases}∠ DCE=∠ F \\EC=EF \\∠ DEC=∠ AEF\end{cases}$
∴$△ DCE≌△ AFE$（ASA），
∴$DE=AE$，即E是AD的中点。
（2）由（1）知$△ DCE≌△ AFE$，
∴$CD=AF$，
又
∵$BF=BC$，且$BF=AB+AF$，
∴$BC=AB+AF=AB+CD$。
【答案】
（1）E是AD的中点得证；
（2）$BC = AB + CD$得证。
【知识点】
角平分线的性质、梯形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是梯形与角平分线的综合证明题，构造辅助线是解题核心。通过延长CE构造等腰三角形和全等三角形，实现线段的转化，考查了几何构造能力与逻辑推理能力，是梯形中典型的线段关系证明题型。
【难度系数】
0.6

11. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD = CD$，$∠ B = ∠ C$.
（1）求证：四边形 $ABCD$ 是等腰梯形；
（2）连接 $BD$，当 $BD⊥ DC$ 时，求 $∠ B$ 的度数.

11.（1）如图①，延长BA，CD交于点P.
∵∠B=∠C，
∴PB=PC.
∵AB=CD，
∴PB - AB=PC - CD，即PA=PD.
∴∠PAD=∠PDA.
∵∠B+∠C+∠P=∠PAD+∠PDA+∠P=180°，
∴∠B+∠C=∠PAD+∠PDA，即2∠B=2∠PAD，
∴∠B=∠PAD.
∴AD//BC.
∵∠B+∠C＜90°，
∴∠B+∠C≠180°.
∴AB与CD不平行.
∴四边形ABCD是梯形.
∵AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形
（2）如图②，连接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABC=2∠DBC.
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°.
∵∠ABC=∠C，
∴∠C=2∠DBC.
∴∠C=60°.
∴∠ABC=60°

【分析】
（1）要证明四边形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的定义，需先证明一组对边平行，另一组对边不平行，且两腰相等。已知AB=CD，∠B=∠C，我们可以延长BA、CD交于点P，利用等角对等边得到PB=PC，结合AB=CD推出PA=PD，进而得到∠PAD=∠PDA，再通过三角形内角和定理推出∠B=∠PAD，从而证明AD//BC，再说明AB与CD不平行，结合AB=CD，即可证明四边形ABCD是等腰梯形。
（2）要求∠B的度数，已知BD⊥DC，AB=AD，结合（1）中AD//BC的结论，利用等边对等角和平行线的内错角相等，将∠B转化为2∠DBC，再在Rt△BDC中，结合∠B=∠C，利用三角形内角和为180°建立方程求解即可。
【解析】
（1）如图，延长BA，CD交于点P。
∵∠B=∠C，
∴PB=PC（等角对等边）。
∵AB=CD，
∴PB - AB = PC - CD，即PA=PD。
∴∠PAD=∠PDA（等边对等角）。
∵在△PBC中，∠B+∠C+∠P=180°，在△PAD中，∠PAD+∠PDA+∠P=180°，
∴∠B+∠C=∠PAD+∠PDA。
又
∵∠B=∠C，∠PAD=∠PDA，
∴2∠B=2∠PAD，即∠B=∠PAD。
∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）。
∵∠B+∠C≠180°，
∴AB与CD不平行。
又
∵AB=CD，AD//BC，AB不平行CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形（等腰梯形的定义）。
（2）连接BD。
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）。
由（1）知AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴∠ABD=∠DBC，即∠ABC=2∠DBC。
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°（垂直的定义）。
在Rt△BDC中，∠DBC+∠C=90°。
又
∵∠ABC=∠C，∠ABC=2∠DBC，
∴∠C=2∠DBC，
代入得∠DBC+2∠DBC=90°，
解得∠DBC=30°，
∴∠B=2∠DBC=60°。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
1. 等腰梯形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题主要考查等腰梯形的判定与性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解题关键是合理构造辅助线，利用平行线的判定和角的转化来解决问题，需要熟练掌握相关几何图形的性质与判定定理，灵活进行角的等量代换。
【难度系数】
0.6