1. $\frac{a^2 - 4}{a^2 + 6a + 9} · \frac{a + 3}{a + 2}$的结果是()

A.$\frac{a - 2}{a + 3}$
B.$\frac{1}{a + 3}$
C.$\frac{a + 2}{a + 3}$
D.$\frac{a - 2}{a - 3}$

A

原式$= \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a + 3)^{2}} · \frac{a + 3}{a + 2}$
$= \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a + 3)(a + 3)}× \frac{a + 3}{a + 2}$
$=\frac{a - 2}{a + 3}$

2. 下列各式计算错误的是()

A.$\frac{-3ab}{4x^2y} · \frac{10xy}{21b} = -\frac{5a}{14x}$
B.$\frac{xy^2}{2yz} ÷ \frac{3x^2y}{8yz} = \frac{4y}{3x}$
C.$\frac{a - b}{a} ÷ (a^2 - ab) = \frac{1}{a^2}$
D.$(-a)^3 ÷ \frac{a^3}{b} = b$

D

选项A：$\frac{-3ab}{4x^2y}·\frac{10xy}{21b}=\frac{-3ab×10xy}{4x^2y×21b}=-\frac{30abxy}{84x^2yb}=-\frac{5a}{14x}$，该选项计算正确。
选项B：$\frac{xy^2}{2yz}÷\frac{3x^2y}{8yz}=\frac{xy^2}{2yz}×\frac{8yz}{3x^2y}=\frac{8xy^2z}{6x^2y^2z}=\frac{4y}{3x}$，该选项计算正确。
选项C：$\frac{a - b}{a}÷(a^2 - ab)=\frac{a - b}{a}÷[a(a - b)]=\frac{a - b}{a}×\frac{1}{a(a - b)}=\frac{1}{a^2}$，该选项计算正确。
选项D：$(-a)^3÷\frac{a^3}{b}=-a^3×\frac{b}{a^3}=-b≠ b$，该选项计算错误。

3. 已知■$÷ \frac{y - x}{2} = \frac{x}{x - y}$,则■表示的代数式是()

A.$-\frac{x}{2}$
B.$\frac{2x}{y^2 - x^2}$
C.$\frac{x}{2}$
D.$\frac{2x}{x^2 - y^2}$

A

设■表示的代数式为A，由题意得A÷$\frac{y - x}{2}$=$\frac{x}{x - y}$，则A=$\frac{x}{x - y}$×$\frac{y - x}{2}$=$\frac{x}{x - y}$×$\frac{-(x - y)}{2}$=-$\frac{x}{2}$

4. (1)$\frac{n^2}{2m} · (\frac{4m}{n})^2 =$；
(2)$a ÷ a × \frac{1}{a} ÷ a =$；
(3)$\frac{x^2 - xy}{x^2 + 2xy + y^2} ÷ \frac{x - y}{x + y} =$。

(1)$8m$；(2)$\frac{1}{a^2}$；(3)$\frac{x}{x + y}$。

(1)
首先计算$(\frac{4m}{n})^2$，根据分式乘方规则$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$，可得$(\frac{4m}{n})^2=\frac{16m^2}{n^2}$。
则原式$\frac{n^2}{2m}·\frac{16m^2}{n^2}$，根据分式乘法规则$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$，可得$\frac{n^2×16m^2}{2m× n^2}=8m$。
(2)
根据除法运算法则，$a÷ a×\frac{1}{a}÷ a=a×\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\frac{1}{a}$。
先计算$a×\frac{1}{a}=1$，则原式变为$1×\frac{1}{a}×\frac{1}{a}=\frac{1}{a^2}$。
(3)
先对分子分母进行因式分解，$x^2 - xy=x(x - y)$，$x^2 + 2xy + y^2=(x + y)^2$。
则原式$\frac{x(x - y)}{(x + y)^2}÷\frac{x - y}{x + y}$，根据除法运算法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，即$\frac{x(x - y)}{(x + y)^2}×\frac{x + y}{x - y}$。
约分可得$\frac{x}{x + y}$。

5. 若$a$为整数，则能使分式$\frac{a^2 + a}{a^2 - 3a} ÷ \frac{a^2 - 1}{a - 3}$的值为整数的$a$的值为。

原式$\frac{a^2 + a}{a^2 - 3a} ÷ \frac{a^2 - 1}{a - 3}$
$=\frac{a(a + 1)}{a(a - 3)} × \frac{a - 3}{(a + 1)(a - 1)}$
$=\frac{1}{a - 1}$
分式的值为整数且$a$为整数，所以$a - 1=\pm 1$，
解得$a = 2$或$0$（$a≠0,1,3,-1$，因为分母不能为$0$），
经检验，当$a = 2$时，符合题意；
当$a = 0$时，原式分母为$0$，舍去，
所以$a$值为$2$。

6. 先化简，再求值：$\frac{a + 1}{a - 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1} ÷ \frac{1}{a^2 - 1}$,其中$a^2 + a = 1$。

$\begin{aligned}&\frac{a + 1}{a - 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1} ÷ \frac{1}{a^2 - 1}\\=&\frac{a + 1}{a - 2} · \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a + 1)^2} · (a + 1)(a - 1)\\=&\frac{(a + 1)(a + 2)(a - 2)(a + 1)(a - 1)}{(a - 2)(a + 1)^2}\\=&(a + 2)(a - 1)\\=&a^2 + a - 2\end{aligned}$
因为$a^2 + a = 1$，所以原式$=1 - 2 = -1$。
$-1$

7. 提升题 某小区为了进一步美化环境，物业计划安排绿化施工队在小区里的一块空地上种植$m$棵树。若甲队单独完成，则需要$n(n ＞ 1)$天；若乙队单独完成，则需要的时间比甲队的2倍多1天。甲队平均每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由。

甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍，理由如下：
甲队单独完成，需要$n(n ＞ 1)$天，总共有$m$棵树需要种植，则甲队平均每天植树的棵数为：
$\mathrm{甲队每天植树数} = \frac{m}{n}$
乙队单独完成，需要的时间比甲队的2倍多1天，即$2n + 1$天。则乙队平均每天植树的棵数为：
$\mathrm{乙队每天植树数} = \frac{m}{2n + 1}$
接下来，我们需要比较甲队和乙队平均每天植树的棵数的关系，特别是是否满足甲队是乙队的3倍，即：
$\frac{m}{n} \stackrel{?}{=} 3 × \frac{m}{2n + 1}$
将两边都除以$m$（$m$不为0，因为需要种植的树的数量是正数），得到：
$\frac{1}{n} \stackrel{?}{=} 3 × \frac{1}{2n + 1}$
进一步化简，得：
$2n + 1 \stackrel{?}{=} 3n$
$n \stackrel{?}{=} 1$
但是题目给出$n ＞ 1$，因此上述等式不成立。
所以，甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍。