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1. $ 16 $ 的平方根是 $\pm4$ 的数学表达式是().
A.$\sqrt{16}=4$
B.$\pm\sqrt{16}=4$
C.$\sqrt{16}=\pm4$
D.$\pm\sqrt{16}=\pm4$
A.$\sqrt{16}=4$
B.$\pm\sqrt{16}=4$
C.$\sqrt{16}=\pm4$
D.$\pm\sqrt{16}=\pm4$
答案
D
解析
平方根的定义：如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫做$a$的平方根。正数$a$的平方根表示为$\pm\sqrt{a}$。16的平方根是$\pm4$，用数学表达式表示为$\pm\sqrt{16}=\pm4$。选项A表示16的算术平方根是4，不符合；选项B左边是$\pm\sqrt{16}$，右边是4，不相等；选项C$\sqrt{16}$表示算术平方根，结果不能是$\pm4$；选项D正确。
2. $ 2\frac{1}{4} $ 的平方根是().
A.$\frac{1}{2}$
B.$\pm\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\pm\frac{3}{2}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\pm\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\pm\frac{3}{2}$
答案
D
解析
首先将混合数$2\frac{1}{4}$转换为假分数，即$2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$。
根据平方根的定义，需要找到一个数$x$，使得$x^2 = \frac{9}{4}$。
解这个方程，得到$x = \pm\frac{3}{2}$。
因此，$2\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{3}{2}$。
根据平方根的定义，需要找到一个数$x$，使得$x^2 = \frac{9}{4}$。
解这个方程，得到$x = \pm\frac{3}{2}$。
因此，$2\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{3}{2}$。
3. 求下列各数的平方根：
（1）$ 121 $；（2）$ 0.36 $；（3）$(-9)^{2}$.
（1）$ 121 $；（2）$ 0.36 $；（3）$(-9)^{2}$.
答案
（1）
因为$( \pm 11)^{2}=121$，
所以$1 2 1$的平方根为$\pm11$，
即$\pm\sqrt{121}=\pm 11$。
（2）
因为$( \pm 0.6)^{2}=0.36$，
所以$0.36$的平方根为$\pm0.6$，
即$\pm\sqrt{0.36}=\pm 0.6$。
（3）
因为$( - 9)^{2}=81$，$( \pm 9)^{2}=81$，
所以$( - 9)^{2}$的平方根为$\pm9$，
即$\pm\sqrt{(-9)^{2}}=\pm 9$。
因为$( \pm 11)^{2}=121$，
所以$1 2 1$的平方根为$\pm11$，
即$\pm\sqrt{121}=\pm 11$。
（2）
因为$( \pm 0.6)^{2}=0.36$，
所以$0.36$的平方根为$\pm0.6$，
即$\pm\sqrt{0.36}=\pm 0.6$。
（3）
因为$( - 9)^{2}=81$，$( \pm 9)^{2}=81$，
所以$( - 9)^{2}$的平方根为$\pm9$，
即$\pm\sqrt{(-9)^{2}}=\pm 9$。
4. 下列说法中，正确的是().
A.$ 4 $ 的平方根是 $ 2 $
B.$-4$ 的平方根是 $-2$
C.$ 40 $ 的平方根是 $ 20 $
D.负数没有平方根
A.$ 4 $ 的平方根是 $ 2 $
B.$-4$ 的平方根是 $-2$
C.$ 40 $ 的平方根是 $ 20 $
D.负数没有平方根
答案
D
解析
根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
选项A，$4$的平方根应该是$\pm2$，而不仅仅是$2$，所以A错误。
选项B，负数没有平方根，所以$-4$没有平方根，B错误。
选项C，一个正数的平方根应该有两个，且互为相反数，$40$的平方根应该是$\pm\sqrt{40}=\pm2\sqrt{10}$，而不是$20$，所以C错误。
选项D，根据平方根的定义，负数没有平方根，所以D正确。
选项A，$4$的平方根应该是$\pm2$，而不仅仅是$2$，所以A错误。
选项B，负数没有平方根，所以$-4$没有平方根，B错误。
选项C，一个正数的平方根应该有两个，且互为相反数，$40$的平方根应该是$\pm\sqrt{40}=\pm2\sqrt{10}$，而不是$20$，所以C错误。
选项D，根据平方根的定义，负数没有平方根，所以D正确。
5. 如果实数 $ m $ 没有平方根，那么 $ m $ 可以是().
A.$-3^{2}$
B.$|-3|$
C.$(-3)^{2}$
D.$-(-3)$
A.$-3^{2}$
B.$|-3|$
C.$(-3)^{2}$
D.$-(-3)$
答案
A
解析
首先明确没有平方根的数必须是负数，
然后逐一分析选项：
A. 计算$-3^{2}$，由于负号在平方运算外面，所以$-3^{2} = - (3 × 3) = - 9$，是负数，没有平方根。
B. 计算$|-3|$，绝对值运算表示取数的正值，所以$|-3| = 3$，是正数，有平方根。
C. 计算$(-3)^{2}$，负数的平方是正数，所以$(-3)^{2} = 9$，是正数，有平方根。
D. 计算$-(-3)$，取反的取反等于原数，所以$-(-3) = 3$，是正数，有平方根。
综上所述，只有A选项是负数，没有平方根。
然后逐一分析选项：
A. 计算$-3^{2}$，由于负号在平方运算外面，所以$-3^{2} = - (3 × 3) = - 9$，是负数，没有平方根。
B. 计算$|-3|$，绝对值运算表示取数的正值，所以$|-3| = 3$，是正数，有平方根。
C. 计算$(-3)^{2}$，负数的平方是正数，所以$(-3)^{2} = 9$，是正数，有平方根。
D. 计算$-(-3)$，取反的取反等于原数，所以$-(-3) = 3$，是正数，有平方根。
综上所述，只有A选项是负数，没有平方根。
6. 中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法. 若一个正数的两个平方根分别是 $ 2a - 3 $ 和 $ 4 - a $，则 $ a $ 的值是.
答案
$a = -1$（填（如题目未给选项则直接写）$-1$）
解析
根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此有：
$2a - 3 + 4 - a = 0$。
整理得：
$a + 1 = 0$。
解得：
$a = -1$。
$2a - 3 + 4 - a = 0$。
整理得：
$a + 1 = 0$。
解得：
$a = -1$。
7. $ 2a - 1 $ 与 $ 4 + a $ 都是 $ x $ 的平方根，则 $ x $ 的值为.
答案
$x$的值为9（题目原题为填空题，答案填9即可）。
解析
由于$2a - 1$和$4 + a$都是$x$的平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，所以：$2a - 1 + 4 + a = 0$，
合并同类项得：$3a + 3 = 0$，
从上式可以解得：$a = -1$，
将$a = -1$代入$2a - 1$得：$2×（-1） - 1 = -3$，
由于$2a - 1$和$4 + a$都是$x$的平方根，所以：$x = (-3)^{2} = 9$（同时，也可以验证$x = (4 - 1)^{2} = 9$）。
合并同类项得：$3a + 3 = 0$，
从上式可以解得：$a = -1$，
将$a = -1$代入$2a - 1$得：$2×（-1） - 1 = -3$，
由于$2a - 1$和$4 + a$都是$x$的平方根，所以：$x = (-3)^{2} = 9$（同时，也可以验证$x = (4 - 1)^{2} = 9$）。
8. 如果 $ a - 12 $ 与 $ 2a - 3 $ 都是 $ m $（$ m $ 是正数）的平方根（$ a - 12≠2a - 3 $），试求 $ m $ 的值.
答案
因为a-12与2a-3都是m（m＞0）的平方根，且a-12≠2a-3，根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
(a-12)+(2a-3)=0
3a-15=0
3a=15
a=5
则a-12=5-12=-7
m=(-7)²=49
答：m的值为49。
(a-12)+(2a-3)=0
3a-15=0
3a=15
a=5
则a-12=5-12=-7
m=(-7)²=49
答：m的值为49。
9. 求下列各式中 $ x $ 的值：
（1）$ x^{2}=16 $；
（2）$ 4x^{2}=25 $.
（1）$ x^{2}=16 $；
（2）$ 4x^{2}=25 $.
答案
（1）
由$x^{2} = 16$，
根据平方根的定义，若一个数的平方等于$a$，则这个数叫做$a$的平方根，
得$x = \pm \sqrt{16}$，
即$x = \pm 4$。
（2）
由$4x^{2} = 25$，
首先等式两边同时除以$4$，得到$x^{2} = \frac{25}{4}$，
再根据平方根的定义，得$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$，
即$x = \pm \frac{5}{2}$。
由$x^{2} = 16$，
根据平方根的定义，若一个数的平方等于$a$，则这个数叫做$a$的平方根，
得$x = \pm \sqrt{16}$，
即$x = \pm 4$。
（2）
由$4x^{2} = 25$，
首先等式两边同时除以$4$，得到$x^{2} = \frac{25}{4}$，
再根据平方根的定义，得$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$，
即$x = \pm \frac{5}{2}$。
10. 下列说法中，正确的是().
A.平方根是其本身的数是 $ 0 $ 和 $ 1 $
B.$ 1 $ 的平方根是 $ 1 $
C.$-1$ 的平方根是 $-1$
D.$ 0.1 $ 是 $ 0.01 $ 的一个平方根
A.平方根是其本身的数是 $ 0 $ 和 $ 1 $
B.$ 1 $ 的平方根是 $ 1 $
C.$-1$ 的平方根是 $-1$
D.$ 0.1 $ 是 $ 0.01 $ 的一个平方根
答案
D
解析
A.平方根是其本身的数只有0，1的平方根是±1，故A错误；B.1的平方根是±1，故B错误；C.-1没有平方根，故C错误；D.0.1²=0.01，所以0.1是0.01的一个平方根，故D正确。
11. 若 $-3x^{m}y$ 和 $ 5x^{3}y^{n} $ 的和是单项式，则 $ (m + n)^{3} $ 的平方根是().
A.$ 8 $
B.$ -8 $
C.$\pm4$
D.$\pm8$
A.$ 8 $
B.$ -8 $
C.$\pm4$
D.$\pm8$
答案
D
解析
根据题意，$-3x^{m}y$与$5x^{3}y^{n}$为同类项，
所以变量指数对应相等，即$m=3$，$n=1$。
则$m+n=3+1=4$，
$(m+n)^{3}=4^{3}=64$，
$64$的平方根为$\pm8$。
