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3. 若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}2x - a ＞ 0, \\ 3x - 4 ＜ 5\end{cases}$ 无解，则 $ a $ 的取值范围是 ______ 。
答案
$a ≥ 6$
解析
解不等式$2x - a ＞ 0$，得$x ＞ \frac{a}{2}$；解不等式$3x - 4 ＜ 5$，得$x ＜ 3$。因为不等式组无解，所以$\frac{a}{2} ≥ 3$，解得$a ≥ 6$。
4. （2024 济南）解不等式组 $\begin{cases}4x ＞ 2(x - 1), ① \\ \dfrac{x + 2}{2} ＜ \dfrac{x + 5}{3}, ②\end{cases}$ 并写出它的所有整数解。
答案
解不等式①：$4x ＞ 2(x - 1)$
$4x ＞ 2x - 2$
$4x - 2x ＞ -2$
$2x ＞ -2$
$x ＞ -1$
解不等式②：$\dfrac{x + 2}{2} ＜ \dfrac{x + 5}{3}$
$3(x + 2) ＜ 2(x + 5)$
$3x + 6 ＜ 2x + 10$
$3x - 2x ＜ 10 - 6$
$x ＜ 4$
不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 4$
整数解为$0, 1, 2, 3$
$4x ＞ 2x - 2$
$4x - 2x ＞ -2$
$2x ＞ -2$
$x ＞ -1$
解不等式②：$\dfrac{x + 2}{2} ＜ \dfrac{x + 5}{3}$
$3(x + 2) ＜ 2(x + 5)$
$3x + 6 ＜ 2x + 10$
$3x - 2x ＜ 10 - 6$
$x ＜ 4$
不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 4$
整数解为$0, 1, 2, 3$
1. 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是()。
A.$\begin{cases}x + 2 ＜ 3, \\ x - 3 ＞ -8\end{cases}$
B.$\begin{cases}x^2 + x ＞ 3, \\ x - 2 ＞ 0\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + x ＜ x - 1, \\ x - y ＞ 5\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y ＜ 1, \\ x - y ＞ 1\end{cases}$
A.$\begin{cases}x + 2 ＜ 3, \\ x - 3 ＞ -8\end{cases}$
B.$\begin{cases}x^2 + x ＞ 3, \\ x - 2 ＞ 0\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + x ＜ x - 1, \\ x - y ＞ 5\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y ＜ 1, \\ x - y ＞ 1\end{cases}$
答案
A
解析
根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。A选项两个不等式均为一元一次不等式且未知数相同；B选项中第一个不等式未知数最高次数为2，不是一元一次不等式；C选项含有两个未知数x和y；D选项含有两个未知数x和y。所以是一元一次不等式组的是A。
2. 关于 $ x $ 的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是()。
A.$ x ≥ 2 $
B.$ -1 ≤ x ＜ 2 $
C.$ x ≥ -1 $
D.$ x ＜ -1 $
A.$ x ≥ 2 $
B.$ -1 ≤ x ＜ 2 $
C.$ x ≥ -1 $
D.$ x ＜ -1 $
答案
B
解析
根据数轴提供的信息，可知不等式组的解集开始于 -1 并且延续到 2，此处 -1 处为实心点表示包含 -1，2 处为空心点表示不包含 2，因此解集为 $-1 ≤ x ＜ 2$。
3. 不等式组 $\begin{cases}x + 1 ＞ 0, \\ x - 1 ≤ 0\end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是( )。
答案
A
解析
解不等式$x + 1 ＞ 0$，得$x ＞ -1$；解不等式$x - 1 ≤ 0$，得$x ≤ 1$。所以不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ 1$。在数轴上表示为$-1$处空心圆圈向右，$1$处实心圆点向左，两部分重合区域为解集。
4. 在平面直角坐标系中，点 $ P(3 - m, m) $ 在第二象限，则 $ m $ 的取值范围是。
答案
$m ＞ 3$
解析
因为点$P(3 - m, m)$在第二象限，所以横坐标小于$0$，纵坐标大于$0$，可得不等式组$\begin{cases}3 - m ＜ 0 \\ m ＞ 0\end{cases}$。解第一个不等式$3 - m ＜ 0$，得$m ＞ 3$；第二个不等式$m ＞ 0$。综合两个不等式的解，$m$的取值范围是$m ＞ 3$。
5. (易错题)不等式组 $\begin{cases}5x + 2 ＞ 3(x - 1), \\ \dfrac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \dfrac{3}{2}x\end{cases}$ 的所有整数解的和是 ______ 。
答案
7
解析
解不等式$5x + 2 ＞ 3(x - 1)$，得$5x + 2 ＞ 3x - 3$，$5x - 3x ＞ -3 - 2$，$2x ＞ -5$，$x ＞ -2.5$；解不等式$\dfrac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \dfrac{3}{2}x$，得$\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}x ≤ 7 + 1$，$2x ≤ 8$，$x ≤ 4$。所以不等式组的解集为$-2.5 ＜ x ≤ 4$，整数解为$-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$，整数解的和为$-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7$。
6. (易错题)如图，点 $ C $ 位于点 $ A $，$ B $ 之间(不与点 $ A $，$ B $ 重合)，点 $ C $ 表示 $ 1 - 2x $，则 $ x $ 的取值范围是。
答案
$-\dfrac{1}{2} ＜ x ＜ 0$
解析
由题意知，点C在A、B之间，A表示1，B表示2，所以1 ＜ 1 - 2x ＜ 2。解不等式1 ＜ 1 - 2x，得-2x ＞ 0，即x ＜ 0；解不等式1 - 2x ＜ 2，得-2x ＜ 1，即x ＞ -0.5。综上，-0.5 ＜ x ＜ 0。
7. 解不等式组 $\begin{cases}x - 2(x - 1) ≤ 2, \\ \dfrac{1 + x}{3} ＞ x - 1,\end{cases}$ 并将不等式组的解集在数轴上表示出来。
答案
$0 ≤ x ＜ 2$
解析
解不等式组：
$\begin{cases}x - 2(x - 1) ≤ 2, \\\dfrac{1 + x}{3} ＞ x - 1\end{cases}$
解第一个不等式：
$x - 2(x - 1) ≤ 2$
去括号：$x - 2x + 2 ≤ 2$
合并同类项：$-x + 2 ≤ 2$
移项：$-x ≤ 0$
系数化为1：$x ≥ 0$
解第二个不等式：
$\dfrac{1 + x}{3} ＞ x - 1$
去分母（两边乘3）：$1 + x ＞ 3(x - 1)$
去括号：$1 + x ＞ 3x - 3$
移项：$x - 3x ＞ -3 - 1$
合并同类项：$-2x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变）：$x ＜ 2$
不等式组的解集：
$0 ≤ x ＜ 2$
数轴表示：
（数轴略，在数轴上表示出从0（含0）到2（不含2）的区间）
$\begin{cases}x - 2(x - 1) ≤ 2, \\\dfrac{1 + x}{3} ＞ x - 1\end{cases}$
解第一个不等式：
$x - 2(x - 1) ≤ 2$
去括号：$x - 2x + 2 ≤ 2$
合并同类项：$-x + 2 ≤ 2$
移项：$-x ≤ 0$
系数化为1：$x ≥ 0$
解第二个不等式：
$\dfrac{1 + x}{3} ＞ x - 1$
去分母（两边乘3）：$1 + x ＞ 3(x - 1)$
去括号：$1 + x ＞ 3x - 3$
移项：$x - 3x ＞ -3 - 1$
合并同类项：$-2x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变）：$x ＜ 2$
不等式组的解集：
$0 ≤ x ＜ 2$
数轴表示：
（数轴略，在数轴上表示出从0（含0）到2（不含2）的区间）
