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7. 欧几里得是古希腊最负盛名的数学家之一,他编著的《几何原本》是欧洲数学的基础,他被称为"几何学之父"。《几何原本》第XII卷中命题10给出了"圆锥体积是与它同底同高的圆柱体积的$\frac{1}{3}$"的完整证明,有兴趣的同学可以去看一看。
答案
设同底同高的圆柱底面积为$ S $，高为$ h $。
圆柱体积：$ V_{圆柱}=Sh $
圆锥体积：$ V_{圆锥}=\frac{1}{3}Sh $
则$ V_{圆锥}=\frac{1}{3}V_{圆柱} $
答：圆锥体积是与它同底同高的圆柱体积的$\frac{1}{3}$。
圆柱体积：$ V_{圆柱}=Sh $
圆锥体积：$ V_{圆锥}=\frac{1}{3}Sh $
则$ V_{圆锥}=\frac{1}{3}V_{圆柱} $
答：圆锥体积是与它同底同高的圆柱体积的$\frac{1}{3}$。
1. 计算下列各圆锥的体积。
(1)底面周长是9.42 m,高是1.8 m。
(2)底面直径是6 dm,高是6 dm。
(1)底面周长是9.42 m,高是1.8 m。
(2)底面直径是6 dm,高是6 dm。
答案
(1)
半径：$9.42÷(2×3.14)=1.5(m)$
体积：$\frac{1}{3}×3.14×1.5^2×1.8=4.239(m^3)$
(2)
半径：$6÷2=3(dm)$
体积：$\frac{1}{3}×3.14×3^2×6=56.52(dm^3)$
答：(1)圆锥的体积是4.239立方米；(2)圆锥的体积是56.52立方分米。
半径：$9.42÷(2×3.14)=1.5(m)$
体积：$\frac{1}{3}×3.14×1.5^2×1.8=4.239(m^3)$
(2)
半径：$6÷2=3(dm)$
体积：$\frac{1}{3}×3.14×3^2×6=56.52(dm^3)$
答：(1)圆锥的体积是4.239立方米；(2)圆锥的体积是56.52立方分米。
2. 判断。
(1)体积和底面积都相等的一个圆柱和一个圆锥,圆锥的高一定是圆柱高的3倍。 ()
(2)把一根圆柱形木头,削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 ()
(3)正方体、长方体、圆锥的体积都等于底面积乘高。 ()
(4)一个圆柱的体积是27 m³,和它等底等高的圆锥的体积是9 m³。 ()
(1)体积和底面积都相等的一个圆柱和一个圆锥,圆锥的高一定是圆柱高的3倍。 ()
(2)把一根圆柱形木头,削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 ()
(3)正方体、长方体、圆锥的体积都等于底面积乘高。 ()
(4)一个圆柱的体积是27 m³,和它等底等高的圆锥的体积是9 m³。 ()
答案
(1) 设圆柱底面积为S，高为h₁，体积V=Sh₁；圆锥底面积为S，高为h₂，体积V=1/3Sh₂。
Sh₁=1/3Sh₂，得h₂=3h₁，√
(2) 圆柱体积=3×圆锥体积，削去部分体积=3×圆锥体积-圆锥体积=2×圆锥体积，√
(3) 圆锥体积=1/3×底面积×高，×
(4) 27×1/3=9(m³)，√
Sh₁=1/3Sh₂，得h₂=3h₁，√
(2) 圆柱体积=3×圆锥体积，削去部分体积=3×圆锥体积-圆锥体积=2×圆锥体积，√
(3) 圆锥体积=1/3×底面积×高，×
(4) 27×1/3=9(m³)，√
(1)一个圆柱形的铅坯,最多能熔铸成()个与它等底等高的圆锥形铅坯。
答案
$1÷\frac{1}{3}=3$（个）
答：3。
答：3。
(2)一个圆柱的体积是24 dm³,高是8 dm,它的底面积是()dm²。
答案
24÷8=3(dm²)
答：它的底面积是3dm²。
答：它的底面积是3dm²。
(3)一个圆锥的体积是15 dm³,底面积是5 dm²,它的高是()dm。
答案
$3×15÷5=9(\mathrm{dm})$
答：它的高是9dm。
答：它的高是9dm。
(4)圆锥的体积不变,如果半径缩小为原来的$\frac{1}{2}$,那么高应该扩大到原来的()倍。
答案
设原来圆锥的半径为$ r $，高为$ h $，体积为$ V $。
$ V = \frac{1}{3}π r^2 h $
当半径缩小为原来的$ \frac{1}{2} $时，新半径为$ \frac{1}{2}r $，设新的高为$ h' $，则：
$ V = \frac{1}{3}π ( \frac{1}{2}r )^2 h' = \frac{1}{3}π × \frac{1}{4}r^2 h' $
因为体积不变，所以：
$ \frac{1}{3}π r^2 h = \frac{1}{3}π × \frac{1}{4}r^2 h' $
两边同时除以$ \frac{1}{3}π r^2 $，得：
$ h = \frac{1}{4}h' $
$ h' = 4h $
答：高应该扩大到原来的4倍。
$ V = \frac{1}{3}π r^2 h $
当半径缩小为原来的$ \frac{1}{2} $时，新半径为$ \frac{1}{2}r $，设新的高为$ h' $，则：
$ V = \frac{1}{3}π ( \frac{1}{2}r )^2 h' = \frac{1}{3}π × \frac{1}{4}r^2 h' $
因为体积不变，所以：
$ \frac{1}{3}π r^2 h = \frac{1}{3}π × \frac{1}{4}r^2 h' $
两边同时除以$ \frac{1}{3}π r^2 $，得：
$ h = \frac{1}{4}h' $
$ h' = 4h $
答：高应该扩大到原来的4倍。
4. 下图中的蒙古包是由一个圆锥和一个圆柱组成。这个蒙古包所占的空间有多大?(不计厚度)
答案
$3÷2=1.5(\mathrm{m})$
$3.14×1.5^2×2=14.13(\mathrm{m}^3)$
$\frac{1}{3}×3.14×1.5^2×(3-2)=2.355(\mathrm{m}^3)$
$14.13+2.355=16.485(\mathrm{m}^3)$
答：这个蒙古包所占的空间是$16.485$立方米。
$3.14×1.5^2×2=14.13(\mathrm{m}^3)$
$\frac{1}{3}×3.14×1.5^2×(3-2)=2.355(\mathrm{m}^3)$
$14.13+2.355=16.485(\mathrm{m}^3)$
答：这个蒙古包所占的空间是$16.485$立方米。
