1. 如图所示,已知数轴上 $ A $,$ B $ 两点所表示的数分别为 $ -3 $ 和 $ 9 $。
(1) 求线段 $ AB $ 的长。
(2) 若点 $ P $ 为线段 $ AB $ 的一个动点,且 $ M $ 为 $ PA $ 的中点,$ N $ 为 $ PB $ 的中点,请你画出相应的图形,并求出线段 $ MN $ 的长。
(3) 若点 $ P $ 为数轴上点 $ A $ 左侧的一个动点,且 $ M $ 为 $ PA $ 的中点,$ N $ 为 $ PB $ 的中点,请你画出图形,并探究 $ MN $ 的长度是否发生改变。若不变,求出线段 $ MN $ 的长；若改变,请说明理由。

1.解:
(1)AB = 9 - (-3) = 12.
(2)如图①所示.

因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MP = $\frac{1}{2}$AP，NP = $\frac{1}{2}$BP.
所以MN = MP + NP = $\frac{1}{2}$(AP + BP) = $\frac{1}{2}$AB.
由
(1)，得AB = 12，
所以MN = 6.
(3)MN的长度不会发生改变.如图②所示.

因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MA = PM = $\frac{1}{2}$AP，NP = NB = $\frac{1}{2}$BP.
所以MN = NP - PM = $\frac{1}{2}$(BP - AP) = $\frac{1}{2}$AB.
由
(1)，得AB = 12，所以MN = 6.

【分析】
(1) 求数轴上两点的线段长度，利用数轴上右边的数大于左边的数的性质，直接用右侧点表示的数减去左侧点表示的数，即可得到线段长度。
(2) 遇到线段中点首先想到中点将线段分为等长的两段，将MN拆分为两条中点分得的小线段之和，提取公因式后可发现MN是定长线段AB的一半，代入AB长度即可求解。
(3) 当点P在A左侧时，同样先利用中点性质表示出两条中点分得的小线段，此时MN为两条小线段的差，提取公因式后依然可得到MN等于AB的一半，即可判断长度不变并求出结果。
【解析】
(1) 已知A点表示的数为-3，B点表示的数为9，数轴上两点间的线段长度等于右侧点的数减去左侧点的数，因此$AB=9-(-3)=12$。
(2) 画出的图形如图①所示：

根据线段中点的定义：M是PA的中点，因此$MP=\frac{1}{2}AP$；N是PB的中点，因此$NP=\frac{1}{2}BP$。
此时MN由MP和NP拼接而成，即$MN=MP+NP$，代入中点结论得：
$MN=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB$
将$AB=12$代入，得$MN=\frac{1}{2}×12=6$。
(3) MN的长度不会发生改变，画出的图形如图②所示：

根据线段中点的定义：M是PA的中点，因此$PM=\frac{1}{2}AP$；N是PB的中点，因此$NP=\frac{1}{2}BP$。
此时P在A左侧，MN为NP减去PM的差，即$MN=NP-PM$，代入中点结论得：
$MN=\frac{1}{2}BP-\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}(BP-AP)=\frac{1}{2}AB$
将$AB=12$代入，得$MN=\frac{1}{2}×12=6$，因此MN长度固定不变。
【答案】
1.解:
(1)AB = 9 - (-3) = 12.
(2)如图①所示.

因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MP = $\frac{1}{2}$AP，NP = $\frac{1}{2}$BP.
所以MN = MP + NP = $\frac{1}{2}$(AP + BP) = $\frac{1}{2}$AB.
由(1)，得AB = 12，
所以MN = 6.
(3)MN的长度不会发生改变.如图②所示.

因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MA = PM = $\frac{1}{2}$AP，NP = NB = $\frac{1}{2}$BP.
所以MN = NP - PM = $\frac{1}{2}$(BP - AP) = $\frac{1}{2}$AB.
由(1)，得AB = 12，所以MN = 6.
【知识点】
数轴两点距离计算，线段中点定义，线段和差运算
【点评】
本题是数轴与线段中点结合的典型动点问题，解题核心是利用中点性质转化线段关系，无需确定动点的具体位置，通过整体代入定长线段即可求解，能帮助学生掌握转化思想和整体思想，为解决更复杂的数轴动点问题打下基础。
【难度系数】
0.7

2. 如图所示,从数轴上的原点开始,先向左移动 $ 2 cm $ 到达 $ A $ 点,再向左移动 $ 4 cm $ 到达 $ B $ 点,然后向右移动 $ 10 cm $ 到达 $ C $ 点。
(1) 用 $ 1 $ 个单位长度表示 $ 1 cm $,请你在题中所给的数轴上表示出 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的位置；
(2) 把点 $ C $ 到点 $ A $ 的距离记为 $ CA $,求 $ CA $ 的长度；
(3) 若点 $ B $ 以每秒 $ 3 cm $ 的速度向左移动,同时点 $ A $,$ C $ 分别以每秒 $ 1 cm $,$ 5 cm $ 的速度向右移动,设移动时间为 $ t s(t ＞ 0) $,试探究 $ CA - AB $ 的值是否会随着 $ t $ 的变化而改变,并说明理由。

2.解:
(1)如图所示.

(2)CA = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6(cm).
(3)CA - AB的值不会随着t的变化而改变.理由如下:
根据题意，得
CA = (4 + 5t) - (-2 + t) = (6 + 4t)(cm)，
AB = (-2 + t) - (-6 - 3t) = (4 + 4t)(cm)，
所以CA - AB = (6 + 4t) - (4 + 4t) = 2(cm).
所以CA - AB的值不会随着t的变化而改变.

【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：依据数轴点的移动规则“左减右加”，从原点出发，向左移动2cm得到A点对应数为0-2=-2，再向左移动4cm得到B点对应数为-2-4=-6，向右移动10cm得到C点对应数为-6+10=4，在数轴对应位置标注三点即可。
2. 第(2)问：数轴上两点距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，找到A、C对应的数直接作差即可求出CA的长度。
3. 第(3)问：先根据移动方向和速度，用含t的代数式分别表示出移动t秒后A、B、C三点对应的数，再根据两点距离公式分别表示CA和AB的长度，计算CA-AB的结果，若结果不含t则说明值不随t变化。
【解析】
(1) 计算各点对应数：A点对应数为-2，B点对应数为-6，C点对应数为4，标注位置如下：

(2) C点表示的数为4，A点表示的数为-2，因此：
$CA = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6(\mathrm{cm})$
(3) CA-AB的值不会随t的变化而改变，理由如下：
移动t秒后，各点对应的数分别为：
B点向左移动，对应数：$-6 - 3t$
A点向右移动，对应数：$-2 + t$
C点向右移动，对应数：$4 + 5t$
分别计算两段距离：
$CA = (4 + 5t) - (-2 + t) = 6 + 4t\ (\mathrm{cm})$
$AB = (-2 + t) - (-6 - 3t) = 4 + 4t\ (\mathrm{cm})$
因此$CA - AB = (6 + 4t) - (4 + 4t) = 2(\mathrm{cm})$，结果为定值，所以CA-AB的值不随t的变化而改变。
【答案】
(1) 如图所示：
(2) $CA=6\ \mathrm{cm}$
(3) CA-AB的值不会随着t的变化而改变，值恒为2cm。
【知识点】
数轴的应用；两点间距离；动点定值探究
【点评】
本题梯度设置清晰，从基础的数轴点的定位到距离计算，再到动点定值探究，重点考查数形结合思想和代数式化简能力，掌握数轴上点的移动规律和两点距离计算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.6