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3. 反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 的图象一定经过的点是()
A.$ (1,6) $
B.$ (3,2) $
C.$ (1,5) $
D.$ (-2,3) $
A.$ (1,6) $
B.$ (3,2) $
C.$ (1,5) $
D.$ (-2,3) $
答案
D
解析
对于反比例函数$y = -\frac{6}{x}$，其图象上的点满足横纵坐标的乘积等于$-6$。分别验证各选项：
A. $1×6=6≠-6$，不符合；
B. $3×2=6≠-6$，不符合；
C. $1×5=5≠-6$，不符合；
D. $(-2)×3=-6$，符合，该点在函数图象上。
A. $1×6=6≠-6$，不符合；
B. $3×2=6≠-6$，不符合；
C. $1×5=5≠-6$，不符合；
D. $(-2)×3=-6$，符合，该点在函数图象上。
4. 如图 1,正比例函数 $ y_1 = k_1x (k_1 ＜ 0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k_2}{x} (k_2 ＜ 0) $ 的图象相交于 $ A,B $ 两点,点 $ B $ 的横坐标为 2,当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时, $ x $ 的取值范围是()
A.$ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 2 $
B.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
C.$ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
D.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
A.$ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 2 $
B.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
C.$ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
D.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
答案
C
解析
1. 根据正比例函数与反比例函数的中心对称性，由点B的横坐标为2，可得点A的横坐标为-2。
2. 结合$k_1＜0$、$k_2＜0$，可知正比例函数$y_1=k_1x$图象过第二、四象限，反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$图象在第二、四象限。
3. 分区间分析$y_1＞y_2$的情况：
当$x＜-2$时，直线在双曲线上方，$y_1＞y_2$；
当$-2＜x＜0$时，直线在双曲线下方，$y_1＜y_2$；
当$0＜x＜2$时，直线在双曲线上方，$y_1＞y_2$；
当$x＞2$时，直线在双曲线下方，$y_1＜y_2$。
综上，当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$。
2. 结合$k_1＜0$、$k_2＜0$，可知正比例函数$y_1=k_1x$图象过第二、四象限，反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$图象在第二、四象限。
3. 分区间分析$y_1＞y_2$的情况：
当$x＜-2$时，直线在双曲线上方，$y_1＞y_2$；
当$-2＜x＜0$时，直线在双曲线下方，$y_1＜y_2$；
当$0＜x＜2$时，直线在双曲线上方，$y_1＞y_2$；
当$x＞2$时，直线在双曲线下方，$y_1＜y_2$。
综上，当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$。
二、填空题
1. 设每名工人一天能做某种型号的工艺品 $ x $ 个,若每天要生产这种工艺品 60 个,需工人 $ y $ 名,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为.
1. 设每名工人一天能做某种型号的工艺品 $ x $ 个,若每天要生产这种工艺品 60 个,需工人 $ y $ 名,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为.
答案
解：
根据题意，得 $ xy = 60 $，
整理得 $ y = \frac{60}{x} (x ＞ 0) $。
根据题意，得 $ xy = 60 $，
整理得 $ y = \frac{60}{x} (x ＞ 0) $。
2. 已知蓄电池两端电压 $ U $ (单位:V)为定值,电流 $ I $ (单位:A)与 $ R $ (单位:Ω)成反比例函数关系.当 $ I = 4 $ A 时, $ R = 10 $ Ω,则当 $ I = 5 $ A 时, $ R $ 的值为Ω.
答案
8
解析
因为电流$ I $与电阻$ R $成反比例函数关系，设$ I = \frac{U}{R} $（$ U $为定值）。
将$ I = 4 \, \mathrm{A} $，$ R = 10 \, \Omega $代入，得$ U = IR = 4 × 10 = 40 \, \mathrm{V} $。
当$ I = 5 \, \mathrm{A} $时，$ R = \frac{U}{I} = \frac{40}{5} = 8 \, \Omega $。
将$ I = 4 \, \mathrm{A} $，$ R = 10 \, \Omega $代入，得$ U = IR = 4 × 10 = 40 \, \mathrm{V} $。
当$ I = 5 \, \mathrm{A} $时，$ R = \frac{U}{I} = \frac{40}{5} = 8 \, \Omega $。
3. 请写出一个图象在第二、第四象限的反比例函数解析式:.
答案
$ y = -\frac{1}{x} $（答案不唯一）
解析
反比例函数的一般形式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $），当比例系数$ k ＜ 0 $时，函数图象位于第二、第四象限。取$ k = -1 $，可得满足条件的反比例函数解析式为$ y = -\frac{1}{x} $（答案不唯一，只要$ k ＜ 0 $即可）。
4. 如图 2, $ O $ 为坐标原点,菱形 $ OABC $ 的顶点 $ A $ 的坐标为 $ (-3,4) $,顶点 $ C $ 在 $ x $ 轴的负半轴上,函数 $ y = \frac{k}{x} (x ＜ 0) $ 的图象经过顶点 $ B $,则 $ k $ 的值为.
答案
-32
解析
1. 已知顶点$A(-3,4)$，由勾股定理得$OA=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$；
2. 因为四边形$OABC$是菱形，所以$AB=OC=OA=5$，且$AB// OC$，故$B$点纵坐标与$A$点相同为4；
3. 结合$AB$的长度，可得$B$点横坐标为$-3-5=-8$，即$B(-8,4)$；
4. 将$B(-8,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-8}$，解得$k=-32$。
2. 因为四边形$OABC$是菱形，所以$AB=OC=OA=5$，且$AB// OC$，故$B$点纵坐标与$A$点相同为4；
3. 结合$AB$的长度，可得$B$点横坐标为$-3-5=-8$，即$B(-8,4)$；
4. 将$B(-8,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-8}$，解得$k=-32$。
三、解答题
1. 某电视机厂的装配车间计划组装 12000 台彩电.已知从组装彩电开始,每天组装的台数为 $ m $ 台,所需的生产时间为 $ n $ 天,求 $ m $ 与 $ n $ 之间的函数解析式.若原计划用 2 个月时间(每月以 30 天计算)完成,由于准备提前抢占市场,厂家决定将这批彩电提前 20 天上市,那么装配车间每天至少要多组装多少台彩电?
1. 某电视机厂的装配车间计划组装 12000 台彩电.已知从组装彩电开始,每天组装的台数为 $ m $ 台,所需的生产时间为 $ n $ 天,求 $ m $ 与 $ n $ 之间的函数解析式.若原计划用 2 个月时间(每月以 30 天计算)完成,由于准备提前抢占市场,厂家决定将这批彩电提前 20 天上市,那么装配车间每天至少要多组装多少台彩电?
答案
解：
1. 根据工作总量=每天组装台数×生产时间，可得 $ mn = 12000 $，
变形得 $ m = \frac{12000}{n} $（$ n＞0 $）。
2. 原计划生产时间：$ 2×30 = 60 $（天），
提前20天后的生产时间：$ 60 - 20 = 40 $（天）。
原计划每天组装台数：$ \frac{12000}{60} = 200 $（台），
实际每天需组装台数：$ \frac{12000}{40} = 300 $（台），
每天至少多组装的台数：$ 300 - 200 = 100 $（台）。
答：$ m $ 与 $ n $ 之间的函数解析式为 $ m = \frac{12000}{n} $（$ n＞0 $）；装配车间每天至少要多组装100台彩电。
1. 根据工作总量=每天组装台数×生产时间，可得 $ mn = 12000 $，
变形得 $ m = \frac{12000}{n} $（$ n＞0 $）。
2. 原计划生产时间：$ 2×30 = 60 $（天），
提前20天后的生产时间：$ 60 - 20 = 40 $（天）。
原计划每天组装台数：$ \frac{12000}{60} = 200 $（台），
实际每天需组装台数：$ \frac{12000}{40} = 300 $（台），
每天至少多组装的台数：$ 300 - 200 = 100 $（台）。
答：$ m $ 与 $ n $ 之间的函数解析式为 $ m = \frac{12000}{n} $（$ n＞0 $）；装配车间每天至少要多组装100台彩电。
