登录
7. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的结果.
有下列四个说法：① 当投掷次数是 600 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 400，所以“钉尖向上”的概率是 0.667；② 随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618；③ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的频率一定是 0.620；④ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的次数一定高于 500 次. 其中合理的有
有下列四个说法：① 当投掷次数是 600 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 400，所以“钉尖向上”的概率是 0.667；② 随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618；③ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的频率一定是 0.620；④ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的次数一定高于 500 次. 其中合理的有
②
(填序号).答案
7. ②
解析
【分析】
首先要明确频率与概率的核心区别与联系：概率是固定的理论值，频率是通过实际试验得到的数值，会随试验次数变化，但当试验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近。接下来逐个分析四个说法：
1. 对于说法①，仅通过600次试验的频率就确定概率，试验次数不足，频率未稳定，不能直接将频率当作概率；
2. 说法②中，从图像能看到随着试验次数增加，频率在0.618附近稳定摆动，符合频率估计概率的原理，是合理的；
3. 说法③，每次模拟试验的频率是随机的，重复试验时，1000次的频率不一定和之前的0.620一致；
4. 说法④，单次试验的结果是随机的，即使概率约为0.618，1000次试验中“钉尖向上”的次数也不一定高于500次。
通过这样逐一分析，就能判断出合理的说法。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 分析①：当投掷次数为600时，“钉尖向上”的频率为$\frac{400}{600} \approx 0.667$，但频率是试验的结果，只有当试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，不能直接将此时的频率当作概率，故①错误；
2. 分析②：由图像可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率始终在0.618附近摆动，呈现出稳定性，根据频率估计概率的方法，可估计“钉尖向上”的概率为0.618，故②正确；
3. 分析③：频率具有随机性，每次模拟试验的结果都可能不同，因此再次进行模拟试验时，当投掷次数为1000次，“钉尖向上”的频率不一定是0.620，故③错误；
4. 分析④：虽然估计“钉尖向上”的概率为0.618，但单次试验的结果是随机的，所以当投掷次数为1000次时，“钉尖向上”的次数不一定高于500次，故④错误。
综上，合理的说法是②。
【答案】
②
【知识点】
频率估计概率，频率与概率的区别
【点评】
本题重点考查对频率和概率概念的理解，需明确：频率是试验的随机结果，概率是固定的理论值，只有当试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，不能混淆两者的概念，避免用单次或少量试验的频率来代替概率。
【难度系数】
0.7
首先要明确频率与概率的核心区别与联系：概率是固定的理论值，频率是通过实际试验得到的数值，会随试验次数变化，但当试验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近。接下来逐个分析四个说法：
1. 对于说法①，仅通过600次试验的频率就确定概率，试验次数不足，频率未稳定，不能直接将频率当作概率；
2. 说法②中，从图像能看到随着试验次数增加，频率在0.618附近稳定摆动，符合频率估计概率的原理，是合理的；
3. 说法③，每次模拟试验的频率是随机的，重复试验时，1000次的频率不一定和之前的0.620一致；
4. 说法④，单次试验的结果是随机的，即使概率约为0.618，1000次试验中“钉尖向上”的次数也不一定高于500次。
通过这样逐一分析，就能判断出合理的说法。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 分析①：当投掷次数为600时，“钉尖向上”的频率为$\frac{400}{600} \approx 0.667$，但频率是试验的结果，只有当试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，不能直接将此时的频率当作概率，故①错误；
2. 分析②：由图像可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率始终在0.618附近摆动，呈现出稳定性，根据频率估计概率的方法，可估计“钉尖向上”的概率为0.618，故②正确；
3. 分析③：频率具有随机性，每次模拟试验的结果都可能不同，因此再次进行模拟试验时，当投掷次数为1000次，“钉尖向上”的频率不一定是0.620，故③错误；
4. 分析④：虽然估计“钉尖向上”的概率为0.618，但单次试验的结果是随机的，所以当投掷次数为1000次时，“钉尖向上”的次数不一定高于500次，故④错误。
综上，合理的说法是②。
【答案】
②
【知识点】
频率估计概率，频率与概率的区别
【点评】
本题重点考查对频率和概率概念的理解，需明确：频率是试验的随机结果，概率是固定的理论值，只有当试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，不能混淆两者的概念，避免用单次或少量试验的频率来代替概率。
【难度系数】
0.7
8. 小明抛一枚质地均匀的硬币 20 次，有 11 次正面朝上，当抛第 21 次时，正面朝上的概率为
0.5
.答案
8. 0.5
解析
【分析】
这道题的关键是理解随机试验的独立性。首先要明确，抛质地均匀的硬币属于独立重复试验，每次抛硬币的结果都是相互独立的，之前的试验结果不会对下一次试验产生影响。我们需要抓住核心：质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，不管之前抛了多少次，第21次抛硬币时，正面朝上的概率仅由硬币本身的质地决定，与前面20次的结果无关。
【解析】
因为硬币质地均匀，所以每次抛硬币时，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$。
由于每次抛硬币是相互独立的随机试验，前20次的试验结果（11次正面朝上）不会影响第21次抛硬币的结果，因此当抛第21次时，正面朝上的概率仍为0.5。
【答案】
0.5
【知识点】
独立事件概率、等可能事件概率
【点评】
本题容易被前20次的试验结果误导，需注意：独立随机试验中，每次试验的概率不受之前试验结果的影响，质地均匀的硬币每次正面朝上的概率始终为0.5，要准确理解概率的意义，避免被无关结果干扰。
【难度系数】
0.9
这道题的关键是理解随机试验的独立性。首先要明确，抛质地均匀的硬币属于独立重复试验，每次抛硬币的结果都是相互独立的，之前的试验结果不会对下一次试验产生影响。我们需要抓住核心：质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，不管之前抛了多少次，第21次抛硬币时，正面朝上的概率仅由硬币本身的质地决定，与前面20次的结果无关。
【解析】
因为硬币质地均匀，所以每次抛硬币时，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$。
由于每次抛硬币是相互独立的随机试验，前20次的试验结果（11次正面朝上）不会影响第21次抛硬币的结果，因此当抛第21次时，正面朝上的概率仍为0.5。
【答案】
0.5
【知识点】
独立事件概率、等可能事件概率
【点评】
本题容易被前20次的试验结果误导，需注意：独立随机试验中，每次试验的概率不受之前试验结果的影响，质地均匀的硬币每次正面朝上的概率始终为0.5，要准确理解概率的意义，避免被无关结果干扰。
【难度系数】
0.9
9. 一个不透明的袋子中装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八年级(1)班在数学实验室分组做摸球试验：每组先将 10 个白球装入袋中(袋中的球除颜色外都相同)，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中. 汇总各小组数据后获得全班数据统计表如下.
(1)表中的 $a =$
(2)当次数 s 很大时，摸到白球的频率将会接近
(3)估计摸到红球的概率是
(4)试估计口袋中红球的个数.
(1)表中的 $a =$
123
，$b =$0.404
.(2)当次数 s 很大时，摸到白球的频率将会接近
0.4
(精确到 0.1).(3)估计摸到红球的概率是
0.6
(精确到 0.1).(4)试估计口袋中红球的个数.
答案
9.（1）123，0.404 （2）0.4 （3）0.6 （4）10÷0.4=25（个），25-10=15（个）
![img alt=9(4)]
![img alt=9(4)]
解析
【分析】
1. 对于第(1)问，回忆频率、频数、摸球次数的关系：频率=频数÷摸球次数，通过公式变形可分别求出$a$和$b$。求$a$时，已知摸球次数和频率，用“频数=摸球次数×频率”计算；求$b$时，已知频数和摸球次数，用“频率=频数÷摸球次数”计算。
2. 第(2)问，根据频率的稳定性，当试验次数很大时，频率会逐渐稳定在某个数值附近，观察表格中摸到白球的频率，找到它们趋近的数值即可。
3. 第(3)问，因为袋子中只有白球和红球，摸到白球和红球的概率之和为1，用1减去摸到白球的概率，就能得到摸到红球的概率。
4. 第(4)问，先利用白球的数量和摸到白球的概率求出袋中球的总数，再用总数减去白球的数量，即可得到红球的个数。
【解析】
(1) 计算$a$：
根据“频数 = 摸球次数×频率”，可得$a = 300×0.410 = 123$；
计算$b$：
根据“频率 = 频数÷摸球次数”，可得$b = 606÷1500 = 0.404$。
(2) 观察表格中摸到白球的频率：0.420、0.410、0.412、0.406、0.403、0.404，随着摸球次数$s$增大，频率逐渐稳定在0.4附近，因此当$s$很大时，摸到白球的频率将会接近0.4。
(3) 由于袋子中只有白球和红球，摸到白球与红球的概率和为1，因此摸到红球的概率为：
$1 - 0.4 = 0.6$
(4) 设口袋中球的总数为$x$个，根据摸到白球的概率约为0.4，可列方程：
$\frac{10}{x} = 0.4$
解得$x = 25$
则红球的个数为：$25 - 10 = 15$（个）
【答案】
(1) $\boldsymbol{123}$，$\boldsymbol{0.404}$
(2) $\boldsymbol{0.4}$
(3) $\boldsymbol{0.6}$
(4) $\boldsymbol{15}$个
【知识点】
频率与频数的关系、频率估计概率、概率的应用
【点评】
本题考查频率与概率的相关知识，核心是利用“频率的稳定性”，即大量重复试验下频率趋近于概率，来解决实际问题。需要学生熟练掌握频率、频数、总数的计算公式，以及利用概率估计总体数量的方法，培养用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
1. 对于第(1)问，回忆频率、频数、摸球次数的关系：频率=频数÷摸球次数，通过公式变形可分别求出$a$和$b$。求$a$时，已知摸球次数和频率，用“频数=摸球次数×频率”计算；求$b$时，已知频数和摸球次数，用“频率=频数÷摸球次数”计算。
2. 第(2)问，根据频率的稳定性，当试验次数很大时，频率会逐渐稳定在某个数值附近，观察表格中摸到白球的频率，找到它们趋近的数值即可。
3. 第(3)问，因为袋子中只有白球和红球，摸到白球和红球的概率之和为1，用1减去摸到白球的概率，就能得到摸到红球的概率。
4. 第(4)问，先利用白球的数量和摸到白球的概率求出袋中球的总数，再用总数减去白球的数量，即可得到红球的个数。
【解析】
(1) 计算$a$：
根据“频数 = 摸球次数×频率”，可得$a = 300×0.410 = 123$；
计算$b$：
根据“频率 = 频数÷摸球次数”，可得$b = 606÷1500 = 0.404$。
(2) 观察表格中摸到白球的频率：0.420、0.410、0.412、0.406、0.403、0.404，随着摸球次数$s$增大，频率逐渐稳定在0.4附近，因此当$s$很大时，摸到白球的频率将会接近0.4。
(3) 由于袋子中只有白球和红球，摸到白球与红球的概率和为1，因此摸到红球的概率为：
$1 - 0.4 = 0.6$
(4) 设口袋中球的总数为$x$个，根据摸到白球的概率约为0.4，可列方程：
$\frac{10}{x} = 0.4$
解得$x = 25$
则红球的个数为：$25 - 10 = 15$（个）
【答案】
(1) $\boldsymbol{123}$，$\boldsymbol{0.404}$
(2) $\boldsymbol{0.4}$
(3) $\boldsymbol{0.6}$
(4) $\boldsymbol{15}$个
【知识点】
频率与频数的关系、频率估计概率、概率的应用
【点评】
本题考查频率与概率的相关知识，核心是利用“频率的稳定性”，即大量重复试验下频率趋近于概率，来解决实际问题。需要学生熟练掌握频率、频数、总数的计算公式，以及利用概率估计总体数量的方法，培养用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
