6. 如图，数轴上的点$A$，$B$所对应的数分别为$-2$，$\frac{x}{x + 1}$，且点$A$，$B$到原点的距离相等，则$x$的值为。

-2

因为点 A，B 到原点的距离相等，点 A 对应的数为 -2，所以点 B 对应的数的绝对值等于 2。
又因为点 B 在原点右侧，所以点 B 对应的数为 2，即$\frac{x}{x + 1} = 2$。
方程两边同乘$x + 1$得：$x = 2(x + 1)$
去括号：$x = 2x + 2$
移项：$x - 2x = 2$
合并同类项：$-x = 2$
系数化为 1：$x = -2$
检验：当$x = -2$时，$x + 1 = -2 + 1 = -1 ≠ 0$，所以$x = -2$是原方程的解。

7. 解方程：
(1)$\frac{1}{x - 1}+1=\frac{3}{2x - 2}$；
(2)$\frac{1 - x}{x - 3}=\frac{2}{3 - x}-3$；
(3)$\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{x + 3}{x - 2}=\frac{x - 1}{x + 2}$。

(1)
首先，方程$\frac{1}{x - 1}+1=\frac{3}{2x - 2}$两边同乘$2(x - 1)$去分母得：
$2 + 2(x - 1)=3$
去括号：$2 + 2x-2 = 3$
移项：$2x=3$
解得：$x=\frac{3}{2}$
检验：当$x = \frac{3}{2}$时，$2(x - 1)=2×(\frac{3}{2}-1)=1≠0$
所以原方程的解为$x=\frac{3}{2}$
(2)
方程$\frac{1 - x}{x - 3}=\frac{2}{3 - x}-3$两边同乘$(x - 3)$去分母得：
$1 - x=-2-3(x - 3)$
去括号：$1 - x=-2-3x + 9$
移项：$-x+3x=-2 + 9 - 1$
合并同类项：$2x=6$
解得：$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 3=0$
所以$x = 3$是增根，原方程无解
(3)
方程$\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{x + 3}{x - 2}=\frac{x - 1}{x + 2}$，其中$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$
方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$去分母得：
$4+(x + 3)(x + 2)=(x - 1)(x - 2)$
去括号：$4+x^{2}+5x + 6=x^{2}-3x + 2$
移项：$x^{2}-x^{2}+5x+3x=2 - 4 - 6$
合并同类项：$8x=-8$
解得：$x=-1$
检验：当$x = - 1$时，$(x + 2)(x - 2)=(-1 + 2)×(-1 - 2)=-3≠0$
所以原方程的解为$x=-1$

8. 若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 2}-3=\frac{m}{x - 2}$有增根，则$m$的值是()。

A.1
B.-1
C.2
D.-2

C

方程两边同乘$x - 2$得：$x - 3(x - 2) = m$。因为分式方程有增根，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。将$x = 2$代入整式方程得：$2 - 3×(2 - 2) = m$，解得$m = 2$。

9. 若关于$x$的方程$\frac{2}{x}=\frac{m}{2x + 1}$无解，则$m$的值为()。

A.0
B.4 或 6
C.6
D.0 或 4

D

方程$\frac{2}{x}=\frac{m}{2x + 1}$两边乘$x(2x + 1)$得：$2(2x + 1)=mx$，整理得$(m - 4)x=2$。
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程$(m - 4)x=2$无解：当$m - 4=0$即$m=4$时，方程$0x=2$无解，原分式方程无解。
2. 整式方程的解为增根：原方程分母为$0$时，$x=0$或$2x + 1=0$（即$x=-\frac{1}{2}$）。$x=0$代入$(m - 4)x=2$不成立；$x=-\frac{1}{2}$代入得$(m - 4)(-\frac{1}{2})=2$，解得$m=0$，此时$x=-\frac{1}{2}$为增根，原方程无解。
综上，$m=0$或$4$。

10. 如果关于$x$的分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=1$的解是负数，那么实数$m$的取值范围是。

去分母得：$2x - m = x + 1$，
移项合并得：$x = m + 1$，
根据题意知解$x$为负数，即$m + 1 ＜ 0$，
解得：$m ＜ - 1$，
又因为$x + 1 ≠ 0$，即$m + 1 + 1≠ 0$，所以$m≠ - 2$，
综上，实数$m$的取值范围是$m ＜ - 1$且$m≠ - 2$。

11. 【跨学科】数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为$15:12:10$，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很谐和的乐声：do，mi，sol。研究 15，12，10 这三个数的倒数发现：$\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{1}{10}-\frac{1}{12}$，此时我们称 15，12，10 为一组调和数。现有三个数：8，6，$x(x＞8)$，若要组成调和数，则$x$的值为。

12

根据调和数的定义，对于三个数$a$，$b$，$c$（假设$a ＞ b ＞ c$），满足$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}$。
已知三个数为$8$，$6$，$x$，且$x ＞ 8$，则这三个数的大小关系为$x ＞ 8 ＞ 6$。
根据调和数定义可列方程：
$\frac{1}{8} - \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}$
解方程：
$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{6} = \frac{1}{x}$
$\frac{2}{8} - \frac{1}{6} = \frac{1}{x}$
$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{x}$
$\frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{x}$
$\frac{1}{12} = \frac{1}{x}$
解得$x = 12$。
经检验，$x = 12$是原方程的解。