20. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB = AD，CB = CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）试确定点E的位置，使得∠BCD = ∠EFD，并说明理由.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）试确定点E的位置，使得∠BCD = ∠EFD，并说明理由.
答案
20.(1)在 △ABC 和 △ADC 中，$\begin{cases} AB = AD, \\ CB = CD, \\ AC = AC, \end{cases}$ ∴ △ABC ≌ △ADC. ∴ ∠BAC = ∠DAC. ∵ AB//CD，∴ ∠BAC = ∠ACD. ∴ ∠DAC = ∠ACD. ∴ AD = CD. ∵ AB = AD，CB = CD，∴ AB = CB = CD = AD. ∴ 四边形 ABCD 是菱形 (2)当 BE⊥CD 时，∠BCD = ∠EFD 理由:由(1)，得四边形 ABCD 是菱形，∴ ∠BCF = ∠DCF. 在 △BCF 和 △DCF 中，$\begin{cases} CB = CD, \\ \angle BCF=\angle DCF, \\ FC = FC, \end{cases}$ ∴ △BCF≌△DCF. ∴ ∠CBF = ∠CDF.∵ BE⊥CD，∴ ∠BEC = ∠DEF = 90°. ∴ 易得 ∠BCD = ∠EFD.
21. 已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM、EM.
（1）如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM、EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论.
（2）如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）将图①中的正方形CEFG绕点C旋转，使D、E、F三点在一条直线上. 若AB = 13，CE = 5，请画出图形，并直接写出MF的长.
（1）如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM、EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论.
（2）如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）将图①中的正方形CEFG绕点C旋转，使D、E、F三点在一条直线上. 若AB = 13，CE = 5，请画出图形，并直接写出MF的长.
答案
21.(1)DM = EM，DM⊥EM (2)(1)中的结论仍然成立，即 DM = EM，DM⊥EM 延长 EM 交 DA 的延长线于点 H.∵ 四边形 ABCD 与四边形 CEFG 是正方形，∴ ∠ADE = ∠DEF = 90°，AD = CD，EC = FE.∴ ∠ADE + ∠DEF = 180°.∴ AD//EF.∴ ∠MAH = ∠MFE.∵ M 是 AF 的中点，∴ AM = FM.又 ∵ ∠AMH = ∠FME，∴ △AMH≌△FME.∴ MH = ME，AH = FE = EC.∴ DH = DE.∴ 在 Rt△EDH 中，DM = EM，DM⊥EM (3)如图①，MF = $\sqrt{157}$；如图②，MF = $\sqrt{37}$
