5. 如图,在 $△ ABC$ 中,$AB= AC$,$∠ BAC= 120°$,边 $AC$ 的垂直平分线 $DE$ 与边 $BC$ 交于点 $D$,垂足为 $E$.
(1)求 $∠ C$ 的度数；
(2)若 $DE= 1$,求线段 $CD$ 和 $BC$ 的长.

(1)
因$AB = AC$，$∠ BAC=120^{\circ}$，
根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180^{\circ}$，
可得$∠ B=∠ C=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$。
(2)
因为$DE$是$AC$的垂直平分线，
所以$CE = AE$，$∠ CED = 90^{\circ}$，
在$Rt△ CED$中，$∠ C = 30^{\circ}$，$DE = 1$，
根据$30^{\circ}$所对直角边等于斜边的一半，
可得$CD = 2DE=2$。
连接$AD$，
因为$DE$是$AC$的垂直平分线，
所以$AD = CD = 2$。
所以$∠ DAC=∠ C = 30^{\circ}$。
则$∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=120^{\circ}- 30^{\circ}=90^{\circ}$。
在$Rt△ BAD$中，$∠ B = 30^{\circ}$，$AD = 2$，
根据$30^{\circ}$所对直角边等于斜边的一半，
可得$BD = 2AD = 4$。
所以$BC=BD + CD=4 + 2=6$。
综上，$∠ C$的度数为$30^{\circ}$；$CD$的长为$2$，$BC$的长为$6$。

6. 如图,$∠ ABC= ∠ ADC= 90°$,$E$,$F$ 分别是 $AC$,$BD$ 的中点.
(1)求证：$EF ⊥ BD$；
(2)若 $∠ BAD= 30°$,$AC= 10$,求 $BD$ 的长.

(1)见解析；(2)5。

(1)连接BE、DE。
∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点，
∴BE=1/2AC，DE=1/2AC（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴BE=DE，即△BED是等腰三角形。
∵F是BD中点，
∴EF⊥BD（等腰三角形三线合一）。
(2)∵AC=10，E是AC中点，
∴BE=DE=1/2AC=5。
设∠BAE=x，则∠DAE=∠BAD-∠BAE=30°-x。
∵BE=AE，∴∠ABE=∠BAE=x；
∵DE=AE，∴∠ADE=∠DAE=30°-x。
在△ABD中，∠ABD=∠ABE+∠EBD=x+∠EBD，
∠ADB=∠ADE+∠EDB=(30°-x)+∠EDB。
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
∴30°+(x+∠EBD)+(30°-x+∠EDB)=180°，
化简得∠EBD+∠EDB=120°。
在△BED中，∠BED=180°-(∠EBD+∠EDB)=60°。
∵BE=DE，∠BED=60°，
∴△BED是等边三角形，
∴BD=BE=5。