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4. 没有量角器，利用刻度尺或三角板能画出一个角的平分线吗？下面是小彬的做法，他的画法正确吗？请说明理由.
小彬的做法：
（1）利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取 OD = OC.
（2）连接 CD，利用刻度尺画出 CD 的中点 E.
（3）画射线 OE.所以射线 OE 为∠AOB 的角平分线.
小彬的做法：
（1）利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取 OD = OC.
（2）连接 CD，利用刻度尺画出 CD 的中点 E.
（3）画射线 OE.所以射线 OE 为∠AOB 的角平分线.
答案
4. 解：可用“SSS”说明△COE ≌△DOE 因此，∠AOE = ∠BOE 即射线 OE 为∠AOB 的角平分线
解析
【分析】
要判断小彬的画法是否正确，核心是证明射线OE平分∠AOB，即证明∠AOE=∠BOE。我们可以通过构造全等三角形，利用全等三角形对应角相等的性质来推导。首先梳理已知条件：步骤中取了OD=OC，E是CD中点则CE=DE，同时OE是两个三角形的公共边，这三个条件满足SSS全等判定，可证明△COE和△DOE全等，进而得到对应角相等，说明OE是角平分线。
【解析】
已知：在∠AOB的两边上，$OC=OD$，E是CD的中点，即$CE=DE$。
在$△ COE$和$△ DOE$中：
$\{\begin{array}{l}OC = OD\\CE = DE\\OE = OE\end{array} $
根据SSS（边边边）全等判定定理，可得$△ COE ≌ △ DOE$。
由全等三角形的对应角相等，得$∠ COE = ∠ DOE$，即射线OE平分$∠ AOB$，所以小彬的画法正确。
【答案】
小彬的画法正确，理由是：在$△ COE$和$△ DOE$中，$OC=OD$，$CE=DE$，$OE=OE$，根据SSS可证$△ COE ≌ △ DOE$，从而$∠ AOE=∠ BOE$，即射线OE为$∠ AOB$的角平分线。
【知识点】
全等三角形的判定（SSS）、角平分线的判定
【点评】
本题将角平分线的画法与全等三角形的知识结合，考查了全等三角形判定与性质的实际应用，需要理解几何操作背后的原理，熟练运用SSS全等判定定理解决问题。
【难度系数】
0.6
要判断小彬的画法是否正确，核心是证明射线OE平分∠AOB，即证明∠AOE=∠BOE。我们可以通过构造全等三角形，利用全等三角形对应角相等的性质来推导。首先梳理已知条件：步骤中取了OD=OC，E是CD中点则CE=DE，同时OE是两个三角形的公共边，这三个条件满足SSS全等判定，可证明△COE和△DOE全等，进而得到对应角相等，说明OE是角平分线。
【解析】
已知：在∠AOB的两边上，$OC=OD$，E是CD的中点，即$CE=DE$。
在$△ COE$和$△ DOE$中：
$\{\begin{array}{l}OC = OD\\CE = DE\\OE = OE\end{array} $
根据SSS（边边边）全等判定定理，可得$△ COE ≌ △ DOE$。
由全等三角形的对应角相等，得$∠ COE = ∠ DOE$，即射线OE平分$∠ AOB$，所以小彬的画法正确。
【答案】
小彬的画法正确，理由是：在$△ COE$和$△ DOE$中，$OC=OD$，$CE=DE$，$OE=OE$，根据SSS可证$△ COE ≌ △ DOE$，从而$∠ AOE=∠ BOE$，即射线OE为$∠ AOB$的角平分线。
【知识点】
全等三角形的判定（SSS）、角平分线的判定
【点评】
本题将角平分线的画法与全等三角形的知识结合，考查了全等三角形判定与性质的实际应用，需要理解几何操作背后的原理，熟练运用SSS全等判定定理解决问题。
【难度系数】
0.6
5. 如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边 B 处，选对岸正对的一棵树 A；②沿河岸直走 20 m 有一棵树 C，继续前行 20 m 到达 D 处；③从 D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达 A 树正好被 C 树遮挡住的 E 处时停止行走；④测得 DE 的长为 5 m.
（1）求河的宽度是多少米；
（2）请你说明他们做法的正确性.
①在河流的一条岸边 B 处，选对岸正对的一棵树 A；②沿河岸直走 20 m 有一棵树 C，继续前行 20 m 到达 D 处；③从 D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达 A 树正好被 C 树遮挡住的 E 处时停止行走；④测得 DE 的长为 5 m.
（1）求河的宽度是多少米；
（2）请你说明他们做法的正确性.
答案
5. 解：(1)河宽为 5 m；
(2)在△ABC 和△EDC 中，
{∠ABC = ∠EDC，
BC = DC，
∠ACB = ∠ECD，
所以△ABC ≌△EDC(ASA)，所以 AB = DE，即河的宽度为 5 m.
(2)在△ABC 和△EDC 中，
{∠ABC = ∠EDC，
BC = DC，
∠ACB = ∠ECD，
所以△ABC ≌△EDC(ASA)，所以 AB = DE，即河的宽度为 5 m.
解析
【分析】
（1）要确定河的宽度，观察图形可知河宽为AB的长度，根据操作步骤可知DE=5m，我们可以通过证明三角形全等建立AB与DE的等量关系，进而得出河宽；
（2）要说明做法的正确性，需结合已知条件找全等条件：由两岸平行及垂直行走的操作，可得∠ABC=∠EDC=90°；已知BC=DC=20m，且∠ACB与∠ECD是对顶角，根据ASA可证明△ABC和△EDC全等，从而推出AB=DE，验证做法合理。
【解析】
（1）根据做法的推导，河的宽度为5m；
（2）证明：
由题意可得，AB⊥BD，DE⊥BD，
∴$∠ ABC = ∠ EDC = 90°$，
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC \\BC = DC \\∠ ACB = ∠ ECD\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ EDC$（ASA），
∴$AB = DE$，
∵$DE = 5\mathrm{m}$，
∴$AB = 5\mathrm{m}$，即河的宽度为5m，说明他们的做法正确。
【答案】
（1）河的宽度是5米；
（2）做法的正确性证明见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定（ASA）、全等三角形的性质
【点评】
本题将实际测量问题转化为几何全等问题，利用全等三角形的判定与性质实现线段的等量转化，体现了数学的转化思想，考查了全等三角形知识在实际生活中的应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）要确定河的宽度，观察图形可知河宽为AB的长度，根据操作步骤可知DE=5m，我们可以通过证明三角形全等建立AB与DE的等量关系，进而得出河宽；
（2）要说明做法的正确性，需结合已知条件找全等条件：由两岸平行及垂直行走的操作，可得∠ABC=∠EDC=90°；已知BC=DC=20m，且∠ACB与∠ECD是对顶角，根据ASA可证明△ABC和△EDC全等，从而推出AB=DE，验证做法合理。
【解析】
（1）根据做法的推导，河的宽度为5m；
（2）证明：
由题意可得，AB⊥BD，DE⊥BD，
∴$∠ ABC = ∠ EDC = 90°$，
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC \\BC = DC \\∠ ACB = ∠ ECD\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ EDC$（ASA），
∴$AB = DE$，
∵$DE = 5\mathrm{m}$，
∴$AB = 5\mathrm{m}$，即河的宽度为5m，说明他们的做法正确。
【答案】
（1）河的宽度是5米；
（2）做法的正确性证明见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定（ASA）、全等三角形的性质
【点评】
本题将实际测量问题转化为几何全等问题，利用全等三角形的判定与性质实现线段的等量转化，体现了数学的转化思想，考查了全等三角形知识在实际生活中的应用能力。
【难度系数】
0.8
探究问题
（1）方法感悟：
七（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端 A，B 的距离，设计了如下方案：
方案（Ⅰ）：如图①，先在平地上取一个可直接到达 A，B 的点 C，连接 AC，BC，并分别延长 AC 至 D，BC 至 E，使 DC = AC，EC = BC，最后测出 DE 的距离即为 AB 的长.感悟解题方法，并说明其中道理.
（2）方法迁移：
方案（Ⅱ）：如图②，先过点 B 作 AB 的垂线 BE，再在 BE 上取 C 点使 BC = CE，接着作 BE 的垂线 DE，交 AC 的延长线于点 D，则测出 DE 的长即为 A，B 两点间的距离.请你说明理由.
（1）方法感悟：
七（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端 A，B 的距离，设计了如下方案：
方案（Ⅰ）：如图①，先在平地上取一个可直接到达 A，B 的点 C，连接 AC，BC，并分别延长 AC 至 D，BC 至 E，使 DC = AC，EC = BC，最后测出 DE 的距离即为 AB 的长.感悟解题方法，并说明其中道理.
（2）方法迁移：
方案（Ⅱ）：如图②，先过点 B 作 AB 的垂线 BE，再在 BE 上取 C 点使 BC = CE，接着作 BE 的垂线 DE，交 AC 的延长线于点 D，则测出 DE 的长即为 A，B 两点间的距离.请你说明理由.
答案
解：(1)可用“SAS”说明△ACB ≌△DCE 所以 DE = AB
(2)可用“ASA”说明△ABC ≌△DEC 所以 AB = DE 即测出 DE 的长即为 A，B 两点的距离
(2)可用“ASA”说明△ABC ≌△DEC 所以 AB = DE 即测出 DE 的长即为 A，B 两点的距离
解析
【分析】
对于（1），要证明$DE=AB$，可通过证明$△ ACB$和$△ DCE$全等：已知$DC=AC$，$EC=BC$，且$∠ ACB$与$∠ DCE$是对顶角，根据“SAS”判定定理可证全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，即可得到$DE=AB$；
对于（2），要证明$AB=DE$，先由$AB⊥ BE$、$DE⊥ BE$得到$∠ ABC=∠ DEC=90°$，已知$BC=CE$，且$∠ ACB$与$∠ DCE$是对顶角相等，根据“ASA”判定定理可证$△ ABC$和$△ DEC$全等，进而利用全等三角形对应边相等的性质得到$AB=DE$。
【解析】
（1）在$△ ACB$和$△ DCE$中：
$\{\begin{array}{l}AC=DC\\∠ ACB=∠ DCE\\BC=EC\end{array} $
$\therefore △ ACB≌△ DCE$（SAS）
$\therefore DE=AB$，即测出$DE$的距离即为$AB$的长。
（2）$\because AB⊥ BE$，$DE⊥ BE$，
$\therefore ∠ ABC=∠ DEC=90°$，
在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABC=∠ DEC\\BC=EC\\∠ ACB=∠ DCE\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ DEC$（ASA）
$\therefore AB=DE$，即测出$DE$的长即为$A$，$B$两点间的距离。
【答案】
(1)利用“SAS”证明$△ ACB≌△ DCE$，可得$DE=AB$；
(2)利用“ASA”证明$△ ABC≌△ DEC$，可得$AB=DE$，即测出$DE$的长即为$A$，$B$两点间的距离。
【知识点】
全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过实际测量问题，考查全等三角形的判定与性质的应用，体现了数学与实际生活的联系，解题关键是根据已知条件找准全等三角形的对应边和对应角，灵活运用全等三角形的判定定理证明全等，进而利用全等三角形的对应边相等解决问题。
【难度系数】
0.6
对于（1），要证明$DE=AB$，可通过证明$△ ACB$和$△ DCE$全等：已知$DC=AC$，$EC=BC$，且$∠ ACB$与$∠ DCE$是对顶角，根据“SAS”判定定理可证全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，即可得到$DE=AB$；
对于（2），要证明$AB=DE$，先由$AB⊥ BE$、$DE⊥ BE$得到$∠ ABC=∠ DEC=90°$，已知$BC=CE$，且$∠ ACB$与$∠ DCE$是对顶角相等，根据“ASA”判定定理可证$△ ABC$和$△ DEC$全等，进而利用全等三角形对应边相等的性质得到$AB=DE$。
【解析】
（1）在$△ ACB$和$△ DCE$中：
$\{\begin{array}{l}AC=DC\\∠ ACB=∠ DCE\\BC=EC\end{array} $
$\therefore △ ACB≌△ DCE$（SAS）
$\therefore DE=AB$，即测出$DE$的距离即为$AB$的长。
（2）$\because AB⊥ BE$，$DE⊥ BE$，
$\therefore ∠ ABC=∠ DEC=90°$，
在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABC=∠ DEC\\BC=EC\\∠ ACB=∠ DCE\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ DEC$（ASA）
$\therefore AB=DE$，即测出$DE$的长即为$A$，$B$两点间的距离。
【答案】
(1)利用“SAS”证明$△ ACB≌△ DCE$，可得$DE=AB$；
(2)利用“ASA”证明$△ ABC≌△ DEC$，可得$AB=DE$，即测出$DE$的长即为$A$，$B$两点间的距离。
【知识点】
全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过实际测量问题，考查全等三角形的判定与性质的应用，体现了数学与实际生活的联系，解题关键是根据已知条件找准全等三角形的对应边和对应角，灵活运用全等三角形的判定定理证明全等，进而利用全等三角形的对应边相等解决问题。
【难度系数】
0.6
