登录
【变式2】(易错题)$\sqrt{25}$ 的平方根是.
答案
$\pm \sqrt{5}$
解析
首先，根据平方根的定义，若一个数的平方等于$a$，则这个数被称为$ a$的非负平方根，记为$\sqrt{a}$，
因此，有$\sqrt{25} = 5$，
题目要求$\sqrt{25}$，即5的平方根，
根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，
所以，5的平方根应该是$\pm \sqrt{5}$，
即题目所求为$\pm \sqrt{5}$。
因此，有$\sqrt{25} = 5$，
题目要求$\sqrt{25}$，即5的平方根，
根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，
所以，5的平方根应该是$\pm \sqrt{5}$，
即题目所求为$\pm \sqrt{5}$。
【例3】一个非负数的平方根是 $ 2a - 1 $ 和 $ a - 5 $，则这个非负数是多少？
答案
根据平方根的性质，一个非负数的两个平方根互为相反数，所以：
$2a - 1 + a - 5 = 0$，
$3a - 6 = 0$，
$3a= 6$，
$a = 2$，
将$a = 2$代入$2a - 1$，得到其中一个平方根为：
$2 × 2 - 1 = 3$，
由于一个非负数的平方根互为相反数，且它们的平方都等于这个非负数，所以这个非负数为：
$3^2 = 9$。
故答案为9。
$2a - 1 + a - 5 = 0$，
$3a - 6 = 0$，
$3a= 6$，
$a = 2$，
将$a = 2$代入$2a - 1$，得到其中一个平方根为：
$2 × 2 - 1 = 3$，
由于一个非负数的平方根互为相反数，且它们的平方都等于这个非负数，所以这个非负数为：
$3^2 = 9$。
故答案为9。
【变式3】已知 $ a - 1 $ 与 $ 5 - 2a $ 是 $ m $ 的平方根，求 $ m $ 的值.
答案
① 当$a - 1$与$5 - 2a$是同一个平方根时：
$a - 1 = 5 - 2a$，
移项得：
$3a = 6$，
解得：
$a = 2$，
代入$a - 1$得：
$a - 1 = 1$，
所以，$m = 1^2 = 1$。
② 当$a - 1$与$5 - 2a$是两个不同的平方根时：
一个平方根为$a - 1$，另一个为$-(a - 1)$，即：
$5 - 2a = -(a - 1)$，
去括号得：
$5 - 2a = -a + 1$，
移项得：
$-a = -4$，
解得：
$a = 4$，
代入$a - 1$得：
$a - 1 = 3$，
所以，$m = 3^2 = 9$。
综上所述，$m$的值为$1$或$9$。
$a - 1 = 5 - 2a$，
移项得：
$3a = 6$，
解得：
$a = 2$，
代入$a - 1$得：
$a - 1 = 1$，
所以，$m = 1^2 = 1$。
② 当$a - 1$与$5 - 2a$是两个不同的平方根时：
一个平方根为$a - 1$，另一个为$-(a - 1)$，即：
$5 - 2a = -(a - 1)$，
去括号得：
$5 - 2a = -a + 1$，
移项得：
$-a = -4$，
解得：
$a = 4$，
代入$a - 1$得：
$a - 1 = 3$，
所以，$m = 3^2 = 9$。
综上所述，$m$的值为$1$或$9$。
【例4】求下列各式中 $ x $ 的值：
（1）$ 3x^{2}=48 $；
（2）$ 5(x + 1)^{2}-45 = 0 $.
（1）$ 3x^{2}=48 $；
（2）$ 5(x + 1)^{2}-45 = 0 $.
答案
（1）
$3x^{2}=48$，
$x^{2}=16$，
$x=\pm\sqrt{16}$，
$x=\pm4$。
（2）
$5(x+1)^{2}-45=0$，
$5(x+1)^{2}=45$，
$(x+1)^{2}=9$，
$x+1=\pm\sqrt{9}$，
$x+1=\pm3$，
当$x + 1 = 3$时，$x = 2$；当$x + 1 = - 3$时，$x = - 4$。
综上，$x = 2$或$x = - 4$。
$3x^{2}=48$，
$x^{2}=16$，
$x=\pm\sqrt{16}$，
$x=\pm4$。
（2）
$5(x+1)^{2}-45=0$，
$5(x+1)^{2}=45$，
$(x+1)^{2}=9$，
$x+1=\pm\sqrt{9}$，
$x+1=\pm3$，
当$x + 1 = 3$时，$x = 2$；当$x + 1 = - 3$时，$x = - 4$。
综上，$x = 2$或$x = - 4$。
【变式4】已知边长为 $ a $ 的正方形的面积是 $ 10 $，则 $ a = $.
答案
$\sqrt{10}$
解析
因为正方形的面积等于边长的平方，已知边长为$a$的正方形面积是$10$，所以$a^2 = 10$。根据平方根的定义，$a$是$10$的平方根，又因为边长$a$为正数，所以$a = \sqrt{10}$。
【变式5】求下列各式中 $ x $ 的值：
（1）$ 4x^{2}-1 = 0 $；
（2）$ 9(x - 1)^{2}=36 $.
（1）$ 4x^{2}-1 = 0 $；
（2）$ 9(x - 1)^{2}=36 $.
答案
（1）
由$4x^{2} - 1 = 0$，
移项得$4x^{2}=1$，
两边同时除以$4$得$x^{2}=\frac{1}{4}$，
根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，
所以$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$。
（2）
由$9(x - 1)^{2}=36$，
两边同时除以$9$得$(x - 1)^{2}=4$，
根据平方根的定义，$x - 1=\pm\sqrt{4}=\pm2$。
当$x - 1 = 2$时，$x = 2 + 1=3$；
当$x - 1 = -2$时，$x = -2 + 1=-1$。
综上，（1）中$x$的值为$\pm\frac{1}{2}$；（2）中$x$的值为$3$或$-1$。
由$4x^{2} - 1 = 0$，
移项得$4x^{2}=1$，
两边同时除以$4$得$x^{2}=\frac{1}{4}$，
根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，
所以$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$。
（2）
由$9(x - 1)^{2}=36$，
两边同时除以$9$得$(x - 1)^{2}=4$，
根据平方根的定义，$x - 1=\pm\sqrt{4}=\pm2$。
当$x - 1 = 2$时，$x = 2 + 1=3$；
当$x - 1 = -2$时，$x = -2 + 1=-1$。
综上，（1）中$x$的值为$\pm\frac{1}{2}$；（2）中$x$的值为$3$或$-1$。
1. 实数 $ 4 $ 的平方根是().
A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$\sqrt{2}$
D.$\pm2$
A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$\sqrt{2}$
D.$\pm2$
答案
D
解析
根据平方根定义，若 $x^2=a$，则 $x$ 是 $a$ 的平方根，正数 $4$ 的平方根有两个，分别为正的和负的两个值。因为 $2^2 = 4$ 且 $(- 2)^2 = 4$，所以实数$4$的平方根是$\pm2$。
2. 下列说法中，错误的是().
A.$\pm5$ 是 $ 25 $ 的平方根
B.$(-4)^{2}$ 的平方根是 $ 4 $
C.$-5$ 是 $ 25 $ 的一个平方根
D.$ 0 $ 的平方根是 $ 0 $
A.$\pm5$ 是 $ 25 $ 的平方根
B.$(-4)^{2}$ 的平方根是 $ 4 $
C.$-5$ 是 $ 25 $ 的一个平方根
D.$ 0 $ 的平方根是 $ 0 $
答案
B
解析
A选项，根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，因为$(\pm5)^2 = 25$，所以$\pm5$是$25$的平方根，该选项正确；
B选项，先计算$(-4)^2=16$，再根据平方根的定义，$16$的平方根是$\pm4$，而不只是$4$，所以该选项错误；
C选项，由平方根的定义，因为$(-5)^2 = 25$，所以$-5$是$25$的一个平方根，该选项正确；
D选项，因为$0^2 = 0$，所以$0$的平方根是$0$，该选项正确。
B选项，先计算$(-4)^2=16$，再根据平方根的定义，$16$的平方根是$\pm4$，而不只是$4$，所以该选项错误；
C选项，由平方根的定义，因为$(-5)^2 = 25$，所以$-5$是$25$的一个平方根，该选项正确；
D选项，因为$0^2 = 0$，所以$0$的平方根是$0$，该选项正确。
3. 若 $ 4 $ 是 $ a + 2 $ 的一个平方根，则 $ (a + 2)^{2} $ 的平方根是.
答案
$\pm16$
解析
因为4是$a + 2$的一个平方根，所以$a + 2=4^{2}=16$，则$(a + 2)^{2}=16^{2}=256$，256的平方根是$\pm16$。
4. 求下列各式的值：
（1）$\sqrt{121}$；
（2）$-\sqrt{0.04}$；
（3）$\pm\sqrt{\frac{49}{81}}$；
（4）$\pm\sqrt{1\frac{13}{36}}$.
（1）$\sqrt{121}$；
（2）$-\sqrt{0.04}$；
（3）$\pm\sqrt{\frac{49}{81}}$；
（4）$\pm\sqrt{1\frac{13}{36}}$.
答案
（1）
解：因为$11^2 = 121$，
所以$\sqrt{121} = 11$。
（2）
解：因为$0.2^2 = 0.04$，
所以$-\sqrt{0.04} = -0.2$。
（3）
解：因为$(\frac{7}{9})^2 =\frac{49}{81}$，
所以$\pm\sqrt{\frac{49}{81}} = \pm\frac{7}{9}$。
（4）
先将带分数$1\frac{13}{36}$化为假分数：$1\frac{13}{36}=\frac{36 + 13}{36}=\frac{49}{36}$。
因为$(\pm\frac{7}{6})^2=\frac{49}{36}$，
所以$\pm\sqrt{1\frac{13}{36}} = \pm\sqrt{\frac{49}{36}} = \pm\frac{7}{6}$。
解：因为$11^2 = 121$，
所以$\sqrt{121} = 11$。
（2）
解：因为$0.2^2 = 0.04$，
所以$-\sqrt{0.04} = -0.2$。
（3）
解：因为$(\frac{7}{9})^2 =\frac{49}{81}$，
所以$\pm\sqrt{\frac{49}{81}} = \pm\frac{7}{9}$。
（4）
先将带分数$1\frac{13}{36}$化为假分数：$1\frac{13}{36}=\frac{36 + 13}{36}=\frac{49}{36}$。
因为$(\pm\frac{7}{6})^2=\frac{49}{36}$，
所以$\pm\sqrt{1\frac{13}{36}} = \pm\sqrt{\frac{49}{36}} = \pm\frac{7}{6}$。
