19. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$BD$为$△ ABC$的中线，$BE // DC$，$BE = DC$，连接$CE$.
(1) 求证：四边形$BDCE$为菱形；
(2) 连接$DE$，若$∠ ACB = 60^{\circ}$，$BC = 4$，求$DE$的长.

(2)$DE=4\sqrt{3}$

(1) 证明：在$△ABC$中，$∠ABC=90^{\circ}$，$BD$为中线，$\therefore BD=\frac{1}{2}AC=DC$。$\because BE// DC$且$BE=DC$，$\therefore$四边形$BDCE$是平行四边形。又$\because BD=DC$，$\therefore$平行四边形$BDCE$为菱形。
(2) 解：在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90^{\circ}$，$∠ACB=60^{\circ}$，$BC=4$，$\therefore AC=\frac{BC}{\cos60^{\circ}}=8$，$DC=\frac{1}{2}AC=4$。$\because DC=BC=4$，$∠ACB=60^{\circ}$，$\therefore △BCD$是等边三角形，$\therefore BC=4$。$\because$四边形$BDCE$是菱形，对角线$BC$与$DE$互相垂直平分，设交点为$O$，则$OC=\frac{1}{2}BC=2$。在$Rt△DOC$中，$DC=4$，$OC=2$，$\therefore DO=\sqrt{DC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$，$\therefore DE=2DO=4\sqrt{3}$。

20. 提升题 如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$∠ D = 90^{\circ}$，$E$为边$BC$上一点，且$EC = AD$，连接$AC$.
(1) 求证：四边形$AECD$是矩形；
(2) 若$AC$平分$∠ DAB$，$AB = 5$，$EC = 2$，求$AE$的长.

(1) 证明见上；(2) AE=4。

(1) 证明：∵AD//BC，EC⊂BC，∴AD//EC。
又∵EC=AD，∴四边形AECD是平行四边形。
∵∠D=90°，∴平行四边形AECD是矩形。
(2) ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC。
∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB（内错角相等）。
∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC。
∵AB=5，∴BC=5。
∵EC=2，∴BE=BC-EC=5-2=3。
∵四边形AECD是矩形，∴∠AEB=90°（矩形的四个角都是直角）。
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，由勾股定理得：
AE²+BE²=AB²，即AE²+3²=5²，解得AE=4。