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6. 不等式$x + 2＞0$的最小整数解为$x=$。
答案
$-1$
解析
首先解不等式 $x + 2 ＞ 0$，移项得 $x ＞ -2$。
不等式的解集为 $x ＞ -2$，即所有大于 $-2$ 的实数。
最小整数解为大于 $-2$ 的最小整数，即 $x = -1$。
7. 解不等式$1-\frac{5 - x}{3}＜\frac{x}{2}$，并写出它的负整数解。
答案
去分母，得：6 - 2(5 - x) ＜ 3x
去括号，得：6 - 10 + 2x ＜ 3x
移项，得：2x - 3x ＜ -6 + 10
合并同类项，得：-x ＜ 4
系数化为1，得：x ＞ -4
负整数解为：-3，-2，-1
去括号，得：6 - 10 + 2x ＜ 3x
移项，得：2x - 3x ＜ -6 + 10
合并同类项，得：-x ＜ 4
系数化为1，得：x ＞ -4
负整数解为：-3，-2，-1
8. 若$x = 2$是关于$x$的不等式$3x - a + 2＞0$的一个解，则$a$可取的最大整数为()。
A.10
B.9
C.8
D.7
A.10
B.9
C.8
D.7
答案
D
解析
将 $x = 2$ 代入不等式 $3x - a + 2 ＞ 0$ 中，得到：
$3× 2- a + 2 ＞ 0$，
$6 - a + 2 ＞ 0$，
$8 - a ＞ 0$，
$a ＜ 8$。
所以 $a$ 可取的最大整数为 $7$。
$3× 2- a + 2 ＞ 0$，
$6 - a + 2 ＞ 0$，
$8 - a ＞ 0$，
$a ＜ 8$。
所以 $a$ 可取的最大整数为 $7$。
9. 某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的$x$作为输入值，永远不会有输出值。这个数学兴趣小组所发现的实数$x$的取值范围是。
答案
x≤1/2
解析
由流程图可知，输入x后进行运算3x-1，若结果＞10则输出，否则重新输入该结果继续运算。要永远无输出，需每次运算结果均≤10。设第n次运算结果为aₙ，a₁=3x-1，a₂=3a₁-1=9x-4，a₃=3a₂-1=27x-13，…，递推得aₙ=3ⁿx-(3ⁿ-1)/2。若永远无输出，则对任意n，aₙ≤10。当n→∞时，若x＞1/2，aₙ递增且趋向无穷大，必＞10；若x≤1/2，aₙ≤1/2＜10。故x≤1/2。
10. 已知二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 1 + a,\\x + 3y = 3\end{cases}$的解满足$x + y≤3$，则$a$的取值范围为 ______ 。
答案
解：
$\begin{cases}3x + y = 1 + a &① \\x + 3y = 3 &②\end{cases}$
① + ②，得：$4x + 4y = 4 + a$，即$x + y = \frac{4 + a}{4}$。
因为$x + y ≤ 3$，所以$\frac{4 + a}{4} ≤ 3$。
两边同乘4：$4 + a ≤ 12$。
解得：$a ≤ 8$。
$a ≤ 8$
$\begin{cases}3x + y = 1 + a &① \\x + 3y = 3 &②\end{cases}$
① + ②，得：$4x + 4y = 4 + a$，即$x + y = \frac{4 + a}{4}$。
因为$x + y ≤ 3$，所以$\frac{4 + a}{4} ≤ 3$。
两边同乘4：$4 + a ≤ 12$。
解得：$a ≤ 8$。
$a ≤ 8$
11. 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)$2(x + 3)-1≥3x + 6$；
(2)$\frac{x - 2}{5}-\frac{x + 4}{2}＞-3$。
(1)$2(x + 3)-1≥3x + 6$；
(2)$\frac{x - 2}{5}-\frac{x + 4}{2}＞-3$。
答案
(1) 解：
去括号：
$2x + 6 - 1 ≥ 3x + 6$，
移项：
$2x - 3x ≥ 6 - 6 + 1$，
合并同类项：
$-x ≥ 1$，
系数化为1：
$x ≤ -1$，
在数轴上表示：画一个数轴，标出点-1，然后画一个向左的闭合区间，表示$x ≤ -1$。
(2) 解：
去分母：
首先找到分母5和2的最小公倍数10，两边乘以10得：
$10 × \frac{x - 2}{5} - 10 × \frac{x + 4}{2} ＞ -30$，
即：
$2(x - 2) - 5(x + 4) ＞ -30$，
去括号：
$2x - 4 - 5x - 20 ＞ -30$，
移项：
$2x - 5x ＞ -30 + 4 + 20$，
合并同类项：
$-3x ＞ -6$，
系数化为1：
$x ＜ 2$，
在数轴上表示：画一个数轴，标出点2，然后画一个向左的开放区间，表示$x ＜ 2$。
去括号：
$2x + 6 - 1 ≥ 3x + 6$，
移项：
$2x - 3x ≥ 6 - 6 + 1$，
合并同类项：
$-x ≥ 1$，
系数化为1：
$x ≤ -1$，
在数轴上表示：画一个数轴，标出点-1，然后画一个向左的闭合区间，表示$x ≤ -1$。
(2) 解：
去分母：
首先找到分母5和2的最小公倍数10，两边乘以10得：
$10 × \frac{x - 2}{5} - 10 × \frac{x + 4}{2} ＞ -30$，
即：
$2(x - 2) - 5(x + 4) ＞ -30$，
去括号：
$2x - 4 - 5x - 20 ＞ -30$，
移项：
$2x - 5x ＞ -30 + 4 + 20$，
合并同类项：
$-3x ＞ -6$，
系数化为1：
$x ＜ 2$，
在数轴上表示：画一个数轴，标出点2，然后画一个向左的开放区间，表示$x ＜ 2$。
12. 已知关于$x$的方程$4(x + 2)-2 = 5 + 3a$的解不小于方程$\frac{(3a + 1)x}{3}=\frac{a(2x + 3)}{2}$的解，求$a$的取值范围。
答案
1. 解第一个方程：$4(x + 2)-2 = 5 + 3a$
展开得：$4x + 8 - 2 = 5 + 3a$
化简得：$4x + 6 = 5 + 3a$
移项得：$4x = 3a - 1$
解得：$x = \frac{3a - 1}{4}$
2. 解第二个方程：$\frac{(3a + 1)x}{3} = \frac{a(2x + 3)}{2}$
两边乘6去分母：$2(3a + 1)x = 3a(2x + 3)$
展开得：$(6a + 2)x = 6ax + 9a$
移项合并：$2x = 9a$
解得：$x = \frac{9a}{2}$
3. 依题意：$\frac{3a - 1}{4} ≥ \frac{9a}{2}$
两边乘4：$3a - 1 ≥ 18a$
移项：$-15a ≥ 1$
解得：$a ≤ -\frac{1}{15}$
结论：$a ≤ -\frac{1}{15}$
展开得：$4x + 8 - 2 = 5 + 3a$
化简得：$4x + 6 = 5 + 3a$
移项得：$4x = 3a - 1$
解得：$x = \frac{3a - 1}{4}$
2. 解第二个方程：$\frac{(3a + 1)x}{3} = \frac{a(2x + 3)}{2}$
两边乘6去分母：$2(3a + 1)x = 3a(2x + 3)$
展开得：$(6a + 2)x = 6ax + 9a$
移项合并：$2x = 9a$
解得：$x = \frac{9a}{2}$
3. 依题意：$\frac{3a - 1}{4} ≥ \frac{9a}{2}$
两边乘4：$3a - 1 ≥ 18a$
移项：$-15a ≥ 1$
解得：$a ≤ -\frac{1}{15}$
结论：$a ≤ -\frac{1}{15}$
13. (2024昆明期末)已知关于$x$的不等式$3x - a≤0$的正整数解恰是1，2，3，4，那么$a$的取值范围是。
答案
12 ≤ a ＜ 15
解析
解不等式3x - a ≤ 0，得x ≤ a/3。因为正整数解恰是1，2，3，4，所以4 ≤ a/3 ＜ 5，解得12 ≤ a ＜ 15。
14. (推理能力)定义运算$\min\{a,b\}$：当$a≥ b$时，$\min\{a,b\}=b$；当$a ＜ b$时，$\min\{a,b\}=a$。例如，$\min\{4,0\}=0$，$\min\{2,2\}=2$，$\min\{-3,-1\}=-3$。根据该定义运算回答下列问题：
(1)$\min\{-3,2\}=$；当$x≤2$时，$\min\{x,2\}=$。
(2)若$\min\{3x - 1,-x + 3\}=3x - 1$，求$x$的取值范围。
(1)$\min\{-3,2\}=$；当$x≤2$时，$\min\{x,2\}=$。
(2)若$\min\{3x - 1,-x + 3\}=3x - 1$，求$x$的取值范围。
答案
(1)
$\min\{-3,2\}=-3$；
当$x≤2$时，$\min\{x,2\}=x$。
(2)
因为$\min\{3x - 1,-x + 3\}=3x - 1$，根据$\min\{a,b\}$的定义可知$3x - 1≤ -x + 3$。
移项可得$3x+x≤3 + 1$，
即$4x≤4$，
两边同时除以$4$，解得$x≤1$。
$\min\{-3,2\}=-3$；
当$x≤2$时，$\min\{x,2\}=x$。
(2)
因为$\min\{3x - 1,-x + 3\}=3x - 1$，根据$\min\{a,b\}$的定义可知$3x - 1≤ -x + 3$。
移项可得$3x+x≤3 + 1$，
即$4x≤4$，
两边同时除以$4$，解得$x≤1$。
