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【例 2】已知方程组 $\begin{cases}3x + 2y = \dfrac{7}{2},\\2x + 3y = \dfrac{3}{2},\end{cases}$ 求 $x + y$ 和 $x - y$ 的值.
答案
$\begin{cases}3x + 2y = \dfrac{7}{2} &①\\2x + 3y = \dfrac{3}{2} &②\end{cases}$
①+②得：$5x + 5y = 5$，即$x + y = 1$
①-②得：$x - y = 2$
结论：$x + y = 1$，$x - y = 2$
①+②得：$5x + 5y = 5$，即$x + y = 1$
①-②得：$x - y = 2$
结论：$x + y = 1$，$x - y = 2$
【变式 3】已知二元一次方程组 $\begin{cases}x + 2y = 4,\\2x + y = 5,\end{cases}$ 则 $x - y$ 的值为 ______ .
答案
1
解析
$\begin{cases}x + 2y = 4,①\\2x + y = 5,②\end{cases}$
② - ①得：$(2x + y) - (x + 2y) = 5 - 4$，
即$2x + y - x - 2y = 1$，
化简得$x - y = 1$。
② - ①得：$(2x + y) - (x + 2y) = 5 - 4$，
即$2x + y - x - 2y = 1$，
化简得$x - y = 1$。
【变式 4】解方程组 $\begin{cases}19x + 18y = 56,①\\18x + 19y = 55.②\end{cases}$
答案
①+②，得37x+37y=111，化简得x+y=3.③
①-②，得x-y=1.④
③+④，得2x=4，解得x=2.
将x=2代入③，得2+y=3，解得y=1.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$
①-②，得x-y=1.④
③+④，得2x=4，解得x=2.
将x=2代入③，得2+y=3，解得y=1.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$
1. 解方程组 $\begin{cases}x + 2y = 9,\\3x - 2y = 1,\end{cases}$ 比较简单的消元方法是( ).
A.加法消元
B.减法消元
C.代入法消元
D.三种方法一样
A.加法消元
B.减法消元
C.代入法消元
D.三种方法一样
答案
A
解析
观察方程组中两个方程的系数，可以看到方程$x + 2y = 9$中$2y$的系数与方程$3x - 2y = 1$中$-2y$的系数互为相反数，
将两个方程相加，可以消去$y$项，从而简化求解过程。
因此，使用加法消元法是比较简单的方法。
将两个方程相加，可以消去$y$项，从而简化求解过程。
因此，使用加法消元法是比较简单的方法。
2. 解方程组 $\begin{cases}2x + y = 3,①\\2x - 3y = 4,②\end{cases}$ 时，若将 $① - ②$ 可得( ).
A.$-2y = -1$
B.$-2y = 1$
C.$4y = 1$
D.$4y = -1$
A.$-2y = -1$
B.$-2y = 1$
C.$4y = 1$
D.$4y = -1$
答案
D
解析
①-②得：(2x+y)-(2x-3y)=3-4，2x+y-2x+3y=-1，4y=-1
3. 已知 $\begin{cases}4x - y = 1,\\4y - x = 4,\end{cases}$ 则 $(x + y)(x - y)$ 的值等于( ).
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
A
解析
$\begin{cases}4x - y = 1 ①\\4y - x = 4 ②\end{cases}$
①+②，得$3x + 3y = 5$，即$x + y = \frac{5}{3}$
①-②，得$5x - 5y = -3$，即$x - y = -\frac{3}{5}$
$(x + y)(x - y)=\frac{5}{3}×(-\frac{3}{5})=-1$
①+②，得$3x + 3y = 5$，即$x + y = \frac{5}{3}$
①-②，得$5x - 5y = -3$，即$x - y = -\frac{3}{5}$
$(x + y)(x - y)=\frac{5}{3}×(-\frac{3}{5})=-1$
4. 已知 $|2x + y + 3| + (x - y + 3)^2 = 0$，则 $(x + y)^{2026}$ 为.
答案
1
解析
因为绝对值和平方数都是非负数，所以由题意得：
$\begin{cases}2x + y + 3 = 0 \\x - y + 3 = 0\end{cases}$
将两个方程相加，得：$3x + 6 = 0$，解得$x = -2$。
把$x = -2$代入$x - y + 3 = 0$，得：$-2 - y + 3 = 0$，解得$y = 1$。
所以$x + y = -2 + 1 = -1$，则$(x + y)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
$\begin{cases}2x + y + 3 = 0 \\x - y + 3 = 0\end{cases}$
将两个方程相加，得：$3x + 6 = 0$，解得$x = -2$。
把$x = -2$代入$x - y + 3 = 0$，得：$-2 - y + 3 = 0$，解得$y = 1$。
所以$x + y = -2 + 1 = -1$，则$(x + y)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
5. 已知关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x - y = 4m + 1,\\x + y = 2m - 5\end{cases}$ 的解满足 $x - y = 4$，求 $m$ 的值.
答案
$\begin{cases}3x - y = 4m + 1, \quad (1) \\x + y = 2m - 5. \quad (2)\end{cases}$
由$ (1) - (2)$，得$2x - 2y = 4m + 1 - 2m + 5$，
整理得，$2(x - y) = 2m + 6$，
即$x - y = m + 3$。
将$x - y = 4$代入$x - y = m + 3$，得$m + 3 = 4$，
解得$m = 1$。
由$ (1) - (2)$，得$2x - 2y = 4m + 1 - 2m + 5$，
整理得，$2(x - y) = 2m + 6$，
即$x - y = m + 3$。
将$x - y = 4$代入$x - y = m + 3$，得$m + 3 = 4$，
解得$m = 1$。
1. 解方程组 $\begin{cases}s + 2t = 2,①\\s - 3t = -1②\end{cases}$ 时，$① - ②$，得( ).
A.$-t = 1$
B.$-t = 3$
C.$5t = 3$
D.$5t = 1$
A.$-t = 1$
B.$-t = 3$
C.$5t = 3$
D.$5t = 1$
答案
C
解析
① - ②得：(s + 2t) - (s - 3t) = 2 - (-1)，即 s + 2t - s + 3t = 3，5t = 3
2. 二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = -2,\\2x - y = 2\end{cases}$ 的解是( ).
A.$\begin{cases}x = 0,\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 0\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0,\\y = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -2,\\y = 0\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = 0,\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 0\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0,\\y = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -2,\\y = 0\end{cases}$
答案
C
解析
已知方程组：
$\begin{cases}x + y = -2 \quad (1), \\2x - y = 2 \quad (2).\end{cases}$
将方程(1)与方程(2)相加，以消去变量$y$，即：
$(x + y) + (2x - y) = -2 + 2$，
化简得：
$3x = 0$，
解得：
$x = 0$。
接下来，将 $x = 0$ 代入方程(1)中，以求出$y$的值：
$0 + y = -2$，
解得：
$y = -2$。
因此，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 0, \\y = -2.\end{cases}$
$\begin{cases}x + y = -2 \quad (1), \\2x - y = 2 \quad (2).\end{cases}$
将方程(1)与方程(2)相加，以消去变量$y$，即：
$(x + y) + (2x - y) = -2 + 2$，
化简得：
$3x = 0$，
解得：
$x = 0$。
接下来，将 $x = 0$ 代入方程(1)中，以求出$y$的值：
$0 + y = -2$，
解得：
$y = -2$。
因此，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 0, \\y = -2.\end{cases}$
