12. 如果一个自然数的平方根是 $\pm a$($ a≥0 $)，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根为().

A.$\pm(a + 1)$
B.$\pm a + 1$
C.$\pm\sqrt{a^{2}+1}$
D.$\pm\sqrt{a + 1}$

C

因为一个自然数的平方根是±a，所以这个自然数是a²。与这个自然数相邻的下一个自然数是a²+1，其平方根为±√(a²+1)。

13. 已知 $ x $，$ y $ 是实数，且 $ (y - 2)^{2} $ 与 $ |2x + 2| $ 互为相反数，求 $ x^{2}+y^{3} $ 的平方根.

因为$(y - 2)^{2}$与$|2x + 2|$互为相反数，所以$(y - 2)^{2}+|2x + 2| = 0$。
由于$(y - 2)^{2}≥0$，$|2x + 2|≥0$，要使它们的和为$0$，则$(y - 2)^{2}=0$且$|2x + 2| = 0$。
由$(y - 2)^{2}=0$，得$y - 2 = 0$，解得$y = 2$。
由$|2x + 2| = 0$，得$2x + 2 = 0$，解得$x=-1$。
所以$x^{2}+y^{3}=(-1)^{2}+2^{3}=1 + 8=9$。
$9$的平方根是$\pm3$。
故答案为$\pm3$。

14. 求下列各式中 $ x $ 的值：
（1）$(x - 2)^{2}=64$；
（2）$3(x - 1)^{2}=27$.

（1）
由$(x - 2)^{2} = 64$，根据平方根的定义，有$x - 2 = \pm \sqrt{64}$，
$x - 2 = \pm 8$，
$x = 2 \pm 8$，
所以$x_{1} = 2 + 8 = 10$，$x_{2} = 2 - 8 = -6$。
（2）
由$3(x - 1)^{2} = 27$，得$(x - 1)^{2} = 9$，
根据平方根的定义，有$x - 1 = \pm \sqrt{9}$，
$x - 1 = \pm 3$，
$x = 1 \pm 3$，
所以$x_{1} = 1 + 3 = 4$，$x_{2} = 1 - 3 = -2$。

15. 一个正数 $ b $ 的两个平方根分别是 $ 2a - 3 $ 与 $ 5 - a $.
（1）求 $ a $ 和 $ b $ 的值；
（2）求 $ 5a + b - 3 $ 的平方根.

（1）
因为一个正数$b$的两个平方根分别是$2a - 3$与$5 - a$，根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$(2a - 3)+(5 - a)=0$
$2a - 3 + 5 - a = 0$
$a+2 = 0$
解得$a = - 2$。
则$2a - 3=2×(-2)-3=-4 - 3=-7$。
因为$b$是$(2a - 3)^{2}$，所以$b = (-7)^{2}=49$。
（2）
当$a = - 2$，$b = 49$时，$5a + b - 3=5×(-2)+49 - 3=-10+49 - 3=36$。
因为$36$的平方根为$\pm6$，所以$5a + b - 3$的平方根是$\pm6$。

16.（推理能力）已知正实数 $ x $ 的平方根是 $ m $ 和 $ m + b $.
（1）当 $ b = 8 $ 时，求 $ m $ 的值；
（2）若 $ m^{2}x+(m + b)^{2}x = 4 $，求 $ x $ 的值.

（1）
因为正实数$x$的平方根是$m$和$m + b$，根据正实数的两个平方根互为相反数，可得$m+(m + b)=0$。
当$b = 8$时，$m+(m + 8)=0$，
$2m+8 = 0$，
$2m=-8$，
解得$m=-4$。
（2）
由正实数$x$的平方根是$m$和$m + b$，可知$x = m^{2}=(m + b)^{2}$。
因为$m^{2}x+(m + b)^{2}x = 4$，将$x = m^{2}=(m + b)^{2}$代入$m^{2}x+(m + b)^{2}x = 4$中，得到$x· x+x· x = 4$（这里因为$m^{2}=(m + b)^{2}=x$），即$2x^{2}=4$。
$x^{2}=2$，
因为$x$是正实数，所以$x=\sqrt{2}$（$x =-\sqrt{2}$舍去）。