章末总结复习
思维导图·发展创新意识
二元一次方程（组）及其相关的概念

1. 二元一次方程：
方程中含有$2$个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是$1$的方程。
2. 二元一次方程组：
方程组中含有$2$个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是$1$，一共有$2$个方程。二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。
3. 代入消元法：
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元。
4. 加减消元法：
当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解。
5. 二元一次方程组的应用：
二元一次方程组是解决含有两个未知数问题的重要工具，用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义。
应用二元一次方程组解决问题的基本步骤：审、设、列、解、验、答。
6. 解三元一次方程组：
解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程。
故答案依次为：$2$；$1$；$2$个；$1$；$2$；公共解；二元一次方程组的解；含另一个未知数的式子；相反数；相等；相加；相减；一元一次；两个未知数；审、设、列、解、验、答；一元一次方程。

一、选择题
1. 已知$\begin{cases}x = 3k,\\y = - 3k\end{cases}$是二元一次方程$2x - y = 27$的解，则$k$的值是( )。
A.3
B.$- 3$
C.2
D.$- 2$

A

将$\begin{cases}x = 3k,\\y = - 3k\end{cases}$代入方程$2x - y = 27$，得$2 × 3k - (-3k) = 27$，即$6k + 3k = 27$，$9k = 27$，解得$k = 3$。

2. 若方程$3x^{|m| - 2} = 3y^{n + 1} + 4$是二元一次方程，则$m$，$n$的值分别为()。

A.2，$- 1$
B.$- 3$，0
C.3，0
D.$\pm 3$，0

D

根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的次数都为1。
对于$x$的次数：$|m| - 2 = 1$，解得$|m| = 3$，即$m = \pm 3$。
对于$y$的次数：$n + 1 = 1$，解得$n = 0$。
综合以上，$m = \pm 3$，$n = 0$。

3. 解二元一次方程组$\begin{cases}3x + 4y = 2,①\\2x - y = 5,②\end{cases}$最恰当的变形是( )。

A.由①，得$x = \frac{2 - 4y}{3}$
B.由②，得$y = 2x - 5$
C.由①，得$y = \frac{2 - 3x}{4}$
D.由②，得$x = \frac{y + 5}{2}$

B

本题可根据等式的基本性质，对二元一次方程组中的两个方程进行变形，然后分析各个选项是否为最恰当的变形。
选项A：由$3x + 4y = 2$，得$x = \frac{2 - 4y}{3}$
此变形是通过将$4y$移到等号右边，再将方程两边同时除以$3$得到的，但在后续代入消元时，计算相对较复杂。
选项B：由$2x - y = 5$，得$y = 2x - 5$
此变形是通过将$-y$移到等号右边变为$y$，$5$移到等号左边变为$-5$，再将方程两边同时加$y$、减$5$（等式基本性质）得到的，变形简单且后续代入消元计算方便。
选项C：由$3x + 4y = 2$，得$y = \frac{2 - 3x}{4}$
此变形是通过将$3x$移到等号右边，再将方程两边同时除以$4$得到的，但在后续代入消元时，计算相对较复杂。
选项D：由$2x - y = 5$，得$x = \frac{y + 5}{2}$
此变形出现计算错误，正确变形应为由$2x - y = 5$，移项可得$2x=y + 5$，两边同时除以$2$，得到$x = \frac{y + 5}{2}$（原选项中分母$2$前少了个$x$相关推导错误表述，且这种变形后续计算也不如选项B方便）。
综合比较，选项B的变形最恰当。

4. 某车间的120名工人生产一种无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面(底面和侧面材料不同)，4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排$x$名工人生产侧面，$y$名工人生产底面，则可列方程组为()。

A.$\begin{cases}x + y = 120,\\200x = 150y\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 120,\\4×200x = 150y\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 120,\\200x = 4×150y\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 120,\\150x = 200y\end{cases}$

C

本题可根据已知条件找出两个等量关系，一是生产侧面和底面的工人总数为$120$人；二是根据侧面和底面的配套关系列出方程，进而得到方程组。
步骤一：根据工人总数列出方程
已知车间共有$120$名工人，设安排$x$名工人生产侧面，$y$名工人生产底面，因为生产侧面的工人数与生产底面的工人数之和等于总工人数，所以可得$x + y = 120$。
步骤二：根据侧面和底面的配套关系列出方程
已知$1$名工人每天可以生产$200$块侧面或$150$块底面，那么$x$名工人每天生产$200x$块侧面，$y$名工人每天生产$150y$块底面。
又因为$4$块侧面和$1$块底面正好可以做成一个无盖包装箱，即侧面数量是底面数量的$4$倍时才能正好配套，所以可得$4×150y = 200x$，即$4×150y=200x$可变形为$200x = 4×150y$。
步骤三：列出方程组
将上述两个方程联立起来，可得方程组$\begin{cases}x + y = 120\\200x = 4×150y\end{cases}$。