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10. 提升题 【阅读学习】
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值。
解：由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，知$x ≠ 0$，
$\therefore \frac{x^2 + 1}{x} = 3$，即$x + \frac{1}{x} = 3$。
$\therefore \frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$，故$\frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{1}{7}$。
以上解法是先将已知等式的两边“取倒数”，再求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”。
【类比探究】
已知$\frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{7}$，请利用上述方法求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值。
【拓展延伸】
已知$\frac{xy}{x + y} = 3$，$\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z + x} = 1$，求$\frac{xyz}{xy + yz + zx}$的值。
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值。
解：由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，知$x ≠ 0$，
$\therefore \frac{x^2 + 1}{x} = 3$，即$x + \frac{1}{x} = 3$。
$\therefore \frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$，故$\frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{1}{7}$。
以上解法是先将已知等式的两边“取倒数”，再求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”。
【类比探究】
已知$\frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{7}$，请利用上述方法求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值。
【拓展延伸】
已知$\frac{xy}{x + y} = 3$，$\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z + x} = 1$，求$\frac{xyz}{xy + yz + zx}$的值。
答案
【类比探究】
解：由$\frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{7}$，知$x≠0$。
$\therefore\frac{x^2 - x + 1}{x}=7$，即$x - 1+\frac{1}{x}=7$，所以$x+\frac{1}{x}=8$。
$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2}=x^2 + 1+\frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})^2 - 1=8^2 - 1 = 63$，故$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}=\frac{1}{63}$。
【拓展延伸】
解：由$\frac{xy}{x + y} = 3$，知$xy≠0$，$\frac{x + y}{xy}=\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$；
由$\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3}$，知$yz≠0$，$\frac{y + z}{yz}=\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$；
由$\frac{zx}{z + x} = 1$，知$zx≠0$，$\frac{z + x}{zx}=1$，即$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=1$。
设$\frac{1}{x}=a$，$\frac{1}{y}=b$，$\frac{1}{z}=c$，则$\begin{cases}a + b=\frac{1}{3}\\b + c=\frac{3}{4}\\a + c = 1\end{cases}$。
三式相加得：$2(a + b + c)=\frac{1}{3}+\frac{3}{4}+1=\frac{4 + 9 + 12}{12}=\frac{25}{12}$，所以$a + b + c=\frac{25}{24}$。
$\frac{xy + yz + zx}{xyz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a + b + c=\frac{25}{24}$，故$\frac{xyz}{xy + yz + zx}=\frac{24}{25}$。
综上，【类比探究】答案为$\boldsymbol{\frac{1}{63}}$；【拓展延伸】答案为$\boldsymbol{\frac{24}{25}}$。
解：由$\frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{7}$，知$x≠0$。
$\therefore\frac{x^2 - x + 1}{x}=7$，即$x - 1+\frac{1}{x}=7$，所以$x+\frac{1}{x}=8$。
$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2}=x^2 + 1+\frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})^2 - 1=8^2 - 1 = 63$，故$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}=\frac{1}{63}$。
【拓展延伸】
解：由$\frac{xy}{x + y} = 3$，知$xy≠0$，$\frac{x + y}{xy}=\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$；
由$\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3}$，知$yz≠0$，$\frac{y + z}{yz}=\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$；
由$\frac{zx}{z + x} = 1$，知$zx≠0$，$\frac{z + x}{zx}=1$，即$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=1$。
设$\frac{1}{x}=a$，$\frac{1}{y}=b$，$\frac{1}{z}=c$，则$\begin{cases}a + b=\frac{1}{3}\\b + c=\frac{3}{4}\\a + c = 1\end{cases}$。
三式相加得：$2(a + b + c)=\frac{1}{3}+\frac{3}{4}+1=\frac{4 + 9 + 12}{12}=\frac{25}{12}$，所以$a + b + c=\frac{25}{24}$。
$\frac{xy + yz + zx}{xyz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a + b + c=\frac{25}{24}$，故$\frac{xyz}{xy + yz + zx}=\frac{24}{25}$。
综上，【类比探究】答案为$\boldsymbol{\frac{1}{63}}$；【拓展延伸】答案为$\boldsymbol{\frac{24}{25}}$。
解析
拓展延伸
由$\frac{xy}{x + y} = 3$，得$\frac{x + y}{xy} = \frac{1}{3}$，即$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$；
由$\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3}$，得$\frac{y + z}{yz} = \frac{3}{4}$，即$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{4}$；
由$\frac{zx}{z + x} = 1$，得$\frac{z + x}{zx} = 1$，即$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 1$。
设$a = \frac{1}{x}$，$b = \frac{1}{y}$，$c = \frac{1}{z}$，则：
$\begin{cases}a + b = \frac{1}{3} \\ b + c = \frac{3}{4} \\ a + c = 1\end{cases}$
三式相加：$2(a + b + c) = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} + 1 = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{12}{12} = \frac{25}{12}$，故$a + b + c = \frac{25}{24}$。
因为$\frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = a + b + c = \frac{25}{24}$，所以$\frac{xyz}{xy + yz + zx} = \frac{24}{25}$。
由$\frac{xy}{x + y} = 3$，得$\frac{x + y}{xy} = \frac{1}{3}$，即$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$；
由$\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3}$，得$\frac{y + z}{yz} = \frac{3}{4}$，即$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{4}$；
由$\frac{zx}{z + x} = 1$，得$\frac{z + x}{zx} = 1$，即$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 1$。
设$a = \frac{1}{x}$，$b = \frac{1}{y}$，$c = \frac{1}{z}$，则：
$\begin{cases}a + b = \frac{1}{3} \\ b + c = \frac{3}{4} \\ a + c = 1\end{cases}$
三式相加：$2(a + b + c) = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} + 1 = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{12}{12} = \frac{25}{12}$，故$a + b + c = \frac{25}{24}$。
因为$\frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = a + b + c = \frac{25}{24}$，所以$\frac{xyz}{xy + yz + zx} = \frac{24}{25}$。
