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11. 近年来，在东北林区发现了越来越多野生东北虎的足迹。生物学家为了估算某只野生东北虎的质量，在松软、平坦且足够深的雪地上，选取该东北虎四脚着地停留时的脚印，其中的一个脚印如图甲所示。在方格纸上描绘出这个脚印的轮廓，如图乙所示。图乙中每个小方格的面积均为 $9\ \mathrm{cm}^2$，数出脚印轮廓所围小方格的个数（凡大于半格的都算一个格，小于半格的都不算），用数出的小方格的个数乘以一个小方格的面积，就大致得出了这个脚印的总面积。测出脚印的深度，在脚印旁边相同的雪地上放一底面积为 $100\ \mathrm{cm}^2$ 的平底容器，在容器中缓缓放入适当的物体，当容器下陷的深度与脚印的深度相同时，测出容器及内部物体的总质量为 $30\ \mathrm{kg}$。忽略脚趾和脚掌之间空隙的面积，求：
(1) 该东北虎一只脚印的面积。
(2) 该东北虎的质量。
(1) 该东北虎一只脚印的面积。
(2) 该东北虎的质量。
答案
11. (1)根据图中每一小格表示 $ 9 \mathrm{cm}^{2} $，脚印轮廓所围小方格大于半格算一个，小于半格舍弃，可数出共有15个小方格，则图中脚印面积大约为 $ S_{0} = 15 × 9 \mathrm{cm}^{2} = 135 \mathrm{cm}^{2} $。
(2)容器下陷的深度与脚印的深度相同时，说明两者产生的压强相同，则有 $ p_{1} = p_{2} $，
根据压强公式可得：$ \frac{F_{1}}{S_{\mathrm{物}}} = \frac{F_{2}}{S_{\mathrm{虎}}} $，
$ \because F_{1} = G_{\mathrm{物}} $，$ F_{2} = G_{\mathrm{虎}} $，
$ \therefore \frac{G_{\mathrm{物}}}{S_{\mathrm{物}}} = \frac{G_{\mathrm{虎}}}{S_{\mathrm{虎}}} $。
$ \therefore G_{\mathrm{虎}} = \frac{G_{\mathrm{物}} S_{\mathrm{虎}}}{S_{\mathrm{物}}} = m_{\mathrm{虎}} g = \frac{m_{\mathrm{物}} g × 4 × 135 × 10^{-4} \mathrm{m}^{2}}{100 × 10^{-4} \mathrm{m}^{2}} $，
$ m_{\mathrm{虎}} = \frac{30 \mathrm{kg} × 4 × 135 × 10^{-4} \mathrm{m}^{2}}{100 × 10^{-4} \mathrm{m}^{2}} = 162 \mathrm{kg} $。
(2)容器下陷的深度与脚印的深度相同时，说明两者产生的压强相同，则有 $ p_{1} = p_{2} $，
根据压强公式可得：$ \frac{F_{1}}{S_{\mathrm{物}}} = \frac{F_{2}}{S_{\mathrm{虎}}} $，
$ \because F_{1} = G_{\mathrm{物}} $，$ F_{2} = G_{\mathrm{虎}} $，
$ \therefore \frac{G_{\mathrm{物}}}{S_{\mathrm{物}}} = \frac{G_{\mathrm{虎}}}{S_{\mathrm{虎}}} $。
$ \therefore G_{\mathrm{虎}} = \frac{G_{\mathrm{物}} S_{\mathrm{虎}}}{S_{\mathrm{物}}} = m_{\mathrm{虎}} g = \frac{m_{\mathrm{物}} g × 4 × 135 × 10^{-4} \mathrm{m}^{2}}{100 × 10^{-4} \mathrm{m}^{2}} $，
$ m_{\mathrm{虎}} = \frac{30 \mathrm{kg} × 4 × 135 × 10^{-4} \mathrm{m}^{2}}{100 × 10^{-4} \mathrm{m}^{2}} = 162 \mathrm{kg} $。
解析
【分析】
1. 对于第一问，题目明确给出计算脚印面积的方法：数出大于半格的小方格个数，乘以每个小方格的面积即可。我们需要先仔细数出图乙中符合要求的小方格数量，再代入计算。
2. 对于第二问，容器下陷深度与脚印深度相同，说明两者对雪地的压强相等。根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，结合压力等于重力（$F=G=mg$），可以建立等式。需要注意东北虎四脚着地，受力面积是4个脚印的面积，同时要进行单位换算，确保单位统一后再计算。
【解析】
(1) 按照题目要求数出脚印轮廓所围的小方格个数，大于半格算1个，小于半格不算，可得共有15个小方格。
已知每个小方格的面积为$9\ \mathrm{cm}^2$，则一只脚印的面积：
$S_{0}=15×9\ \mathrm{cm}^2=135\ \mathrm{cm}^2$
(2) 当容器下陷深度与脚印深度相同时，容器对雪地的压强和东北虎对雪地的压强相等，即$p_{\mathrm{容}}=p_{\mathrm{虎}}$。
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，且压力等于重力$F=G=mg$，可得：
$\frac{G_{\mathrm{容}}}{S_{\mathrm{容}}}=\frac{G_{\mathrm{虎}}}{S_{\mathrm{虎}}}$
代入$G=mg$，变形得：
$\frac{m_{\mathrm{容}}g}{S_{\mathrm{容}}}=\frac{m_{\mathrm{虎}}g}{4S_{0}}$
两边$g$可以约去，整理得：
$m_{\mathrm{虎}}=\frac{m_{\mathrm{容}}×4S_{0}}{S_{\mathrm{容}}}$
将$m_{\mathrm{容}}=30\ \mathrm{kg}$，$S_{0}=135\ \mathrm{cm}^2=135×10^{-4}\ \mathrm{m}^2$，$S_{\mathrm{容}}=100\ \mathrm{cm}^2=100×10^{-4}\ \mathrm{m}^2$代入：
$m_{\mathrm{虎}}=\frac{30\ \mathrm{kg}×4×135×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}{100×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}=162\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) $135\ \mathrm{cm}^2$
(2) $162\ \mathrm{kg}$
【知识点】
压强的计算；重力与质量的关系；方格法估算面积
【点评】
本题结合实际场景，利用等效替代法（压强相等）解决问题，考查了压强公式和重力公式的综合应用。解题时需注意东北虎四脚着地的受力面积计算，以及单位换算的准确性，培养了学生运用物理知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
1. 对于第一问，题目明确给出计算脚印面积的方法：数出大于半格的小方格个数，乘以每个小方格的面积即可。我们需要先仔细数出图乙中符合要求的小方格数量，再代入计算。
2. 对于第二问，容器下陷深度与脚印深度相同，说明两者对雪地的压强相等。根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，结合压力等于重力（$F=G=mg$），可以建立等式。需要注意东北虎四脚着地，受力面积是4个脚印的面积，同时要进行单位换算，确保单位统一后再计算。
【解析】
(1) 按照题目要求数出脚印轮廓所围的小方格个数，大于半格算1个，小于半格不算，可得共有15个小方格。
已知每个小方格的面积为$9\ \mathrm{cm}^2$，则一只脚印的面积：
$S_{0}=15×9\ \mathrm{cm}^2=135\ \mathrm{cm}^2$
(2) 当容器下陷深度与脚印深度相同时，容器对雪地的压强和东北虎对雪地的压强相等，即$p_{\mathrm{容}}=p_{\mathrm{虎}}$。
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，且压力等于重力$F=G=mg$，可得：
$\frac{G_{\mathrm{容}}}{S_{\mathrm{容}}}=\frac{G_{\mathrm{虎}}}{S_{\mathrm{虎}}}$
代入$G=mg$，变形得：
$\frac{m_{\mathrm{容}}g}{S_{\mathrm{容}}}=\frac{m_{\mathrm{虎}}g}{4S_{0}}$
两边$g$可以约去，整理得：
$m_{\mathrm{虎}}=\frac{m_{\mathrm{容}}×4S_{0}}{S_{\mathrm{容}}}$
将$m_{\mathrm{容}}=30\ \mathrm{kg}$，$S_{0}=135\ \mathrm{cm}^2=135×10^{-4}\ \mathrm{m}^2$，$S_{\mathrm{容}}=100\ \mathrm{cm}^2=100×10^{-4}\ \mathrm{m}^2$代入：
$m_{\mathrm{虎}}=\frac{30\ \mathrm{kg}×4×135×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}{100×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}=162\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) $135\ \mathrm{cm}^2$
(2) $162\ \mathrm{kg}$
【知识点】
压强的计算；重力与质量的关系；方格法估算面积
【点评】
本题结合实际场景，利用等效替代法（压强相等）解决问题，考查了压强公式和重力公式的综合应用。解题时需注意东北虎四脚着地的受力面积计算，以及单位换算的准确性，培养了学生运用物理知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
