例 小明可从 $ A $ 站乘客车到 $ B $ 站，也可从 $ A $ 站乘列车到 $ C $ 站，再从 $ C $ 站乘公交车到 $ B $ 站. 设 $ AB $ 为 $ 80 \mathrm{ km} $，$ BC $ 为 $ 20 \mathrm{ km} $，$ ∠ ABC = 120° $.
(1) 求 $ A $，$ C $ 之间的距离. (精确到 $ 1 \mathrm{ km} $，参考数据：$ \sqrt{21} \approx 4.6 $)
(2) 若客车的平均速度是 $ 60 \mathrm{ km/h} $，公交车的平均速度为 $ 40 \mathrm{ km/h} $，列车的平均速度为 $ 180 \mathrm{ km/h} $，为了在最短时间内到达 $ B $ 站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由. (不计候车时间)
分析：(1) 过点 $ C $ 作 $ AB $ 的垂线，交 $ AB $ 的延长线于点 $ E $，利用勾股定理求得 $ AC $ 的长即可. (2) 分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案. 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确地构造直角三角形.
解：(1) 如图，过点 $ C $ 作 $ CE ⊥ AB $，交 $ AB $ 的延长线于点 $ E $.
$ \because ∠ ABC = 120° $，$ \therefore ∠ CBE = 60° $，$ \therefore ∠ BCE = 30° $.

$ \because BC = 20 $，$ \therefore BE = 10 $.
$ \therefore $ 在 $ \mathrm{Rt} △ BCE $ 中，$ CE = \sqrt{CB^{2} - BE^{2}} = 10\sqrt{3} $.
在 $ \mathrm{Rt} △ ACE $ 中，$ \because AC^{2} = AE^{2} + CE^{2} = 8400 $，$ \therefore AC = 20\sqrt{21} \approx 92 $.
故 $ A $，$ C $ 之间的距离约为 $ 92 \mathrm{ km} $.
(2) 乘客车需时间：$ t_{1} = \dfrac{80}{60} = \dfrac{4}{3} (\mathrm{h}) $；乘列车和公交车需时间：$ t_{2} \approx \dfrac{92}{180} + \dfrac{20}{40} = \dfrac{91}{90} (\mathrm{h}) $.
$ \because \dfrac{4}{3} ＞ \dfrac{91}{90} $，$ \therefore $ 选择乘列车和公交车的乘车方案.

解：(1) 如图，过点 $ C $ 作 $ CE ⊥ AB $，交 $ AB $ 的延长线于点 $ E $。
$\because ∠ ABC = 120°$，
$\therefore ∠ CBE = 60°$，$∠ BCE = 30°$。
$\because BC = 20 \mathrm{km}$，
$\therefore BE = 10 \mathrm{km}$。
在 $ \mathrm{Rt} △ BCE $ 中，
$ CE = \sqrt{CB^2 - BE^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = 10\sqrt{3} \mathrm{km} $。
$\because AE = AB + BE = 80 + 10 = 90 \mathrm{km}$，
在 $ \mathrm{Rt} △ ACE $ 中，
$ AC^2 = AE^2 + CE^2 = 90^2 + (10\sqrt{3})^2 = 8400 $，
$\therefore AC = 20\sqrt{21} \approx 92 \mathrm{km}$。
(2) 乘客车所需时间：
$ t_1 = \frac{80}{60} = \frac{4}{3} \mathrm{h} $；
乘列车和公交车所需时间：
$ t_2 \approx \frac{92}{180} + \frac{20}{40} = \frac{91}{90} \mathrm{h} $。
$\because \frac{4}{3} ＞ \frac{91}{90}$，
$\therefore$ 小明应该选择乘列车到 $ C $ 站，再乘公交车到 $ B $ 站的方案。
答：(1) $ A $，$ C $ 之间的距离约为 $ 92 \mathrm{km} $；
(2) 小明应选择乘列车转公交车的方案。

1. 已知一个直角三角形的两边长分别为 $ 1 $，$ 2 $，则它的第三边长是().

A.$ \sqrt{5} $
B.$ \sqrt{3} $
C.$ \sqrt{5} $ 或 $ \sqrt{3} $
D.$ 2 $

C

本题需分两种情况讨论：
1. 当1和2为直角边时，根据勾股定理，第三边（斜边）长为$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$；
2. 当2为斜边，1为直角边时，根据勾股定理，第三边（直角边）长为$\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
综上，第三边长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{3}$。