1. 计算：
(1) $(x^{2}+3)(2x - 5)=$.
(2) $(3m + 2n)(3m - 2n - 1)=$.
(3) $(2x + 3)(x^{2}-5x - 1)=$.

1. (1) $ 2x^{3}-5x^{2}+6x - 15 $
(2) $ 9m^{2}-3m - 4n^{2}-2n $
(3) $ 2x^{3}-7x^{2}-17x - 3 $

【解析】
本题可根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，即先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项。
(1) 计算$(x^{2}+3)(2x - 5)$：
$\begin{aligned}&(x^{2}+3)(2x - 5)\\=&x^{2}·2x + x^{2}·(-5) + 3·2x + 3·(-5)\\=&2x^{3}-5x^{2}+6x - 15\end{aligned}$
(2) 计算$(3m + 2n)(3m - 2n - 1)$：
$\begin{aligned}&(3m + 2n)(3m - 2n - 1)\\=&3m·3m + 3m·(-2n) + 3m·(-1) + 2n·3m + 2n·(-2n) + 2n·(-1)\\=&9m^{2}-6mn - 3m + 6mn - 4n^{2}-2n\\=&9m^{2}-3m - 4n^{2}-2n\end{aligned}$
(3) 计算$(2x + 3)(x^{2}-5x - 1)$：
$\begin{aligned}&(2x + 3)(x^{2}-5x - 1)\\=&2x· x^{2} + 2x·(-5x) + 2x·(-1) + 3· x^{2} + 3·(-5x) + 3·(-1)\\=&2x^{3}-10x^{2}-2x + 3x^{2}-15x - 3\\=&2x^{3}-7x^{2}-17x - 3\end{aligned}$
【答案】
(1) $2x^{3}-5x^{2}+6x - 15$
(2) $9m^{2}-3m - 4n^{2}-2n$
(3) $2x^{3}-7x^{2}-17x - 3$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题考查多项式与多项式的乘法运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，注意运算时不要漏项，合并同类项时准确计算系数，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

2. 若长方形的长为$4a^{2}-2a + 1$，宽为$2a + 1$，则这个长方形的面积为.

2. $ 8a^{3}+1 $

【解析】
根据长方形面积公式：面积=长×宽，将长$4a^2 - 2a + 1$和宽$2a + 1$代入计算：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=(4a^2 - 2a + 1)(2a + 1)\\&=4a^2·2a + 4a^2·1 - 2a·2a - 2a·1 + 1·2a + 1·1\\&=8a^3 + 4a^2 - 4a^2 - 2a + 2a + 1\\&=8a^3 + 1\end{aligned}$
也可利用立方和公式$(x+y)(x^2 - xy + y^2)=x^3 + y^3$（其中$x=2a$，$y=1$）直接得到结果。
【答案】
$8a^3 + 1$
【知识点】
多项式乘多项式、长方形面积公式
【点评】
本题考查长方形面积公式与多项式乘法的综合应用，计算时可通过合并同类项化简，也可利用立方和公式简化运算，需注意运算准确性。
【难度系数】
0.8

3. 四个连续自然数，中间的两个数的积比前后两个数的积大.

3. 2

【解析】
设四个连续自然数分别为$n-1$，$n$，$n+1$，$n+2$（$n$为大于1的自然数）。
中间两个数的积为：$n(n+1)=n^2+n$
前后两个数的积为：$(n-1)(n+2)=n^2+2n-n-2=n^2+n-2$
两者的差为：$(n^2+n)-(n^2+n-2)=2$
即中间的两个数的积比前后两个数的积大2。
【答案】
2
【知识点】
整式的混合运算、连续自然数表示
【点评】
本题通过设未知数将连续自然数转化为代数式，利用整式运算化简求解，考查对连续自然数的理解及整式运算能力，题目基础，易于掌握。
【难度系数】
0.8

4. 已知$(x + a)(x + b)=x^{2}-13x + 36$，则$a + b=$.

4. $ -13 $

【解析】
先将等式左边展开：$(x + a)(x + b)=x^{2}+(a + b)x + ab$，
因为$(x + a)(x + b)=x^{2}-13x + 36$，根据多项式相等对应系数相等，可得一次项系数$a + b=-13$。
【答案】
$-13$
【知识点】
多项式乘多项式，多项式相等的条件
【点评】
本题考查多项式乘法法则的应用，通过展开左边多项式，对比等式两边对应项的系数即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

5. 计算$(x - y)(x^{2}+xy + y^{2})$的结果是()

A.$x^{3}-y^{3}$
B.$x^{3}+y^{3}$
C.$x^{3}+2xy + y^{3}$
D.$x^{3}-2xy + y^{3}$

5. A

【解析】
根据多项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}&(x - y)(x^{2}+xy + y^{2})\\=&x· x^{2}+x· xy+x· y^{2}-y· x^{2}-y· xy-y· y^{2}\\=&x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-x^{2}y-xy^{2}-y^{3}\\=&x^{3}-y^{3}\end{aligned}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式，立方差公式
【点评】
本题可通过多项式乘多项式法则展开合并同类项求解，也可直接利用立方差公式快速得出结果，熟练掌握整式乘法法则及乘法公式是解题关键。
【难度系数】
0.7

6. 若$2x + m$与$x + 3$的乘积中不含$x$的一次项，则$m$的值为()

A.$-6$
B.$0$
C.$-2$
D.$3$

6. A

【解析】
先展开两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}(2x + m)(x + 3)&=2x^2 + 6x + mx + 3m\\&=2x^2 + (6 + m)x + 3m\end{aligned}$
因为乘积中不含$x$的一次项，所以一次项系数为0，即$6 + m = 0$，解得$m = -6$。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式、不含某项的条件
【点评】
本题考查多项式乘法运算，解题关键是明确“不含$x$的一次项”即一次项系数为0，通过合并同类项后令对应系数为0求解参数。
【难度系数】
0.7

7. 若$(1 + x)(2x^{2}+mx + 5)$的计算结果中$x$项的系数为$3$，则$m$的值为()

A.$m=-1$
B.$m=-2$
C.$m = 1$
D.$m = 2$

7. B

【解析】
先利用多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(1 + x)(2x^{2}+mx + 5)&=1×(2x^{2}+mx + 5)+x×(2x^{2}+mx + 5)\\&=2x^{2}+mx + 5+2x^{3}+mx^{2}+5x\end{aligned}$
合并同类项后，x项的系数为$m + 5$。
根据题意，x项的系数为3，可得方程：
$m + 5 = 3$
解得：$m = -2$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题考查多项式乘法运算，需熟练掌握多项式乘多项式的展开法则，准确找到对应项的系数，通过建立一元一次方程求解未知数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 计算：
(1) $(2x + 1)(2 - x^{2})$.
(2) $(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})$.
(3) $(a - b + 1)(a + b - 1)$.

8. (1) $ -2x^{3}-x^{2}+4x + 2 $
(2) $ x^{3}+y^{3} $
(3) $ a^{2}-b^{2}+2b - 1 $

【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(2x + 1)(2 - x^{2})&=2x·2 + 2x·(-x^2) + 1·2 + 1·(-x^2)\\&=4x - 2x^3 + 2 - x^2\\&=-2x^3 - x^2 + 4x + 2\end{aligned}$
(2) 根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项：
$\begin{aligned}(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})&=x· x^2 + x·(-xy) + x· y^2 + y· x^2 + y·(-xy) + y· y^2\\&=x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3\\&=x^3 + y^3\end{aligned}$
(3) 先将式子变形为平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式展开：
$\begin{aligned}(a - b + 1)(a + b - 1)&=[a - (b - 1)][a + (b - 1)]\\&=a^2 - (b - 1)^2\\&=a^2 - (b^2 - 2b + 1)\\&=a^2 - b^2 + 2b - 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x^{3}-x^{2}+4x + 2}$
(2) $\boldsymbol{x^{3}+y^{3}}$
(3) $\boldsymbol{a^{2}-b^{2}+2b - 1}$
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查多项式的乘法运算，涵盖基础多项式乘法及平方差、完全平方公式的灵活应用，解题时需熟练掌握运算法则，注意符号变化与同类项的合并。
【难度系数】
0.7