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例 判断命题“对于任意的自然数n,$n^{2}-n+41$都是质数”的真假,并证明.
答案
该命题为假命题。
证明：当n=41时，$n^{2}-n + 41=41^{2}-41 + 41=41^{2}=41×41$，结果为41与41的乘积，不是质数。故原命题为假命题。
证明：当n=41时，$n^{2}-n + 41=41^{2}-41 + 41=41^{2}=41×41$，结果为41与41的乘积，不是质数。故原命题为假命题。
解析
【分析】
要判断这个全称命题的真假，根据全称命题的真假判定规则：若要证明全称命题为假，只需找到一个反例，即存在某个自然数n，使得$n^{2}-n+41$不是质数即可。观察代数式$n^{2}-n+41$的结构，当n取41时，式子可化简为41的平方，显然是合数，以此作为反例就能否定原命题。
【解析】
该命题为假命题。
证明：当$n=41$时，
$n^{2}-n + 41=41^{2}-41 + 41=41^{2}=41×41$，
结果为41与41的乘积，除了1和它本身外，还有因数41，不符合质数的定义，因此该结果不是质数。
故存在自然数$n=41$，使得$n^{2}-n+41$不是质数，原命题为假命题。
【答案】
该命题为假命题，证明如下：当$n=41$时，$n^{2}-n+41=41^{2}$，是合数，故原命题为假命题。
【知识点】
1. 全称命题真假判断
2. 质数与合数定义
【点评】
判断全称命题的真假时，证明其为假命题只需找到一个反例即可，无需验证所有情况。本题通过构造特殊值反例，简洁否定了原命题，提醒我们不能仅凭部分实例就得出全称性结论，需保持严谨的逻辑判断。
【难度系数】
0.7
要判断这个全称命题的真假，根据全称命题的真假判定规则：若要证明全称命题为假，只需找到一个反例，即存在某个自然数n，使得$n^{2}-n+41$不是质数即可。观察代数式$n^{2}-n+41$的结构，当n取41时，式子可化简为41的平方，显然是合数，以此作为反例就能否定原命题。
【解析】
该命题为假命题。
证明：当$n=41$时，
$n^{2}-n + 41=41^{2}-41 + 41=41^{2}=41×41$，
结果为41与41的乘积，除了1和它本身外，还有因数41，不符合质数的定义，因此该结果不是质数。
故存在自然数$n=41$，使得$n^{2}-n+41$不是质数，原命题为假命题。
【答案】
该命题为假命题，证明如下：当$n=41$时，$n^{2}-n+41=41^{2}$，是合数，故原命题为假命题。
【知识点】
1. 全称命题真假判断
2. 质数与合数定义
【点评】
判断全称命题的真假时，证明其为假命题只需找到一个反例即可，无需验证所有情况。本题通过构造特殊值反例，简洁否定了原命题，提醒我们不能仅凭部分实例就得出全称性结论，需保持严谨的逻辑判断。
【难度系数】
0.7
1. 选择题：
(1)用反证法证明“若$a＞b＞0$,则$a^{2}＞b^{2}$”,应假设 ()
A.$a＜b$
B.$a≤b$
C.$a^{2}＜b^{2}$
D.$a^{2}≤b^{2}$
(2)用反证法证明“在同一平面内,若$a⊥c,b⊥c$,则$a// b$”时,应假设 ()
A. a与b相交
B. a,b都不垂直于c
C.$a⊥b$
D. a不垂直于c
(1)用反证法证明“若$a＞b＞0$,则$a^{2}＞b^{2}$”,应假设 ()
A.$a＜b$
B.$a≤b$
C.$a^{2}＜b^{2}$
D.$a^{2}≤b^{2}$
(2)用反证法证明“在同一平面内,若$a⊥c,b⊥c$,则$a// b$”时,应假设 ()
A. a与b相交
B. a,b都不垂直于c
C.$a⊥b$
D. a不垂直于c
答案
(1)D (2)A
解析
(1)用反证法证明“若$a＞b＞0$,则$a^{2}＞b^{2}$”，应先假设原命题的结论不成立，即$a^{2} ≤ b^{2}$。
(2)用反证法证明“在同一平面内，若$a⊥c,b⊥c$，则$a//b$”时，应先假设原命题的结论不成立，即$a$与$b$不平行，也就是$a$与$b$相交。
(2)用反证法证明“在同一平面内，若$a⊥c,b⊥c$，则$a//b$”时，应先假设原命题的结论不成立，即$a$与$b$不平行，也就是$a$与$b$相交。
2. 用反证法证明一个命题的步骤一般为：
① 先假设命题的结论；
② 从这个假设出发,经过若干步,得出；
③ 由矛盾判定,从而肯定原来命题的结论成立.
① 先假设命题的结论；
② 从这个假设出发,经过若干步,得出；
③ 由矛盾判定,从而肯定原来命题的结论成立.
答案
① 不成立；② 推理，矛盾；③ 假设不成立
解析
本题可根据反证法的定义和一般步骤来填空。反证法是一种间接证明的方法，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理导出矛盾，从而证明原命题成立。
步骤一：用反证法证明时，先假设命题的结论不成立。
步骤二：从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾。
步骤三：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原来命题的结论成立。
步骤一：用反证法证明时，先假设命题的结论不成立。
步骤二：从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾。
步骤三：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原来命题的结论成立。
3. 用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”.
证明:假设$△ ABC$中不止一个钝角,那么可能有.
当有两个钝角时,不妨设$∠A,∠B$均为钝角,即$∠A＞90^{\circ },∠B＞90^{\circ }$.
则$∠A+∠B＞180^{\circ }$,所以.
这与矛盾.
同理,当有三个钝角时,也与矛盾.
所以.
于是,.
证明:假设$△ ABC$中不止一个钝角,那么可能有.
当有两个钝角时,不妨设$∠A,∠B$均为钝角,即$∠A＞90^{\circ },∠B＞90^{\circ }$.
则$∠A+∠B＞180^{\circ }$,所以.
这与矛盾.
同理,当有三个钝角时,也与矛盾.
所以.
于是,.
答案
两个钝角或三个钝角；∠A+∠B+∠C＞180°；三角形内角和等于180°；三角形内角和等于180°；假设不成立；一个三角形最多有一个钝角
解析
【分析】
要使用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”，需遵循反证法的核心逻辑：先假设原结论不成立，再推导得出矛盾，最后否定假设、确认原结论正确。具体思考步骤如下：
1. 确定原结论的反面：“最多有一个钝角”的反面是“不止一个钝角”，即存在两个钝角或三个钝角；
2. 针对“两个钝角”的情况，根据钝角定义（大于90°），两个钝角的和大于180°，加上第三个内角后，三角形内角和必然大于180°，这与三角形内角和定理矛盾；
3. 针对“三个钝角”的情况，三个角都大于90°，内角和会大于270°，同样与三角形内角和定理矛盾；
4. 由于假设的两种情况均与定理冲突，说明假设不成立，进而推出原结论正确。
【解析】
证明:假设$△ ABC$中不止一个钝角,那么可能有两个钝角或三个钝角。
当有两个钝角时,不妨设$∠A,∠B$均为钝角,即$∠A＞90^{\circ },∠B＞90^{\circ }$。
则$∠A+∠B＞180^{\circ }$,所以$∠A+∠B+∠C＞180^{\circ }$。
这与三角形内角和等于180°矛盾。
同理,当有三个钝角时,也与三角形内角和等于180°矛盾。
所以假设不成立。
于是,一个三角形最多有一个钝角。
【答案】
两个钝角或三个钝角；$∠A+∠B+∠C＞180^{\circ }$；三角形内角和等于180°；三角形内角和等于180°；假设不成立；一个三角形最多有一个钝角
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查反证法的应用逻辑，需熟练掌握“假设-推矛盾-证结论”的反证步骤，同时结合三角形内角和定理完成推导。通过本题可强化逻辑推理能力，加深对反证法和三角形基本性质的理解。
【难度系数】
0.6
要使用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”，需遵循反证法的核心逻辑：先假设原结论不成立，再推导得出矛盾，最后否定假设、确认原结论正确。具体思考步骤如下：
1. 确定原结论的反面：“最多有一个钝角”的反面是“不止一个钝角”，即存在两个钝角或三个钝角；
2. 针对“两个钝角”的情况，根据钝角定义（大于90°），两个钝角的和大于180°，加上第三个内角后，三角形内角和必然大于180°，这与三角形内角和定理矛盾；
3. 针对“三个钝角”的情况，三个角都大于90°，内角和会大于270°，同样与三角形内角和定理矛盾；
4. 由于假设的两种情况均与定理冲突，说明假设不成立，进而推出原结论正确。
【解析】
证明:假设$△ ABC$中不止一个钝角,那么可能有两个钝角或三个钝角。
当有两个钝角时,不妨设$∠A,∠B$均为钝角,即$∠A＞90^{\circ },∠B＞90^{\circ }$。
则$∠A+∠B＞180^{\circ }$,所以$∠A+∠B+∠C＞180^{\circ }$。
这与三角形内角和等于180°矛盾。
同理,当有三个钝角时,也与三角形内角和等于180°矛盾。
所以假设不成立。
于是,一个三角形最多有一个钝角。
【答案】
两个钝角或三个钝角；$∠A+∠B+∠C＞180^{\circ }$；三角形内角和等于180°；三角形内角和等于180°；假设不成立；一个三角形最多有一个钝角
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查反证法的应用逻辑，需熟练掌握“假设-推矛盾-证结论”的反证步骤，同时结合三角形内角和定理完成推导。通过本题可强化逻辑推理能力，加深对反证法和三角形基本性质的理解。
【难度系数】
0.6
