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2. 选择题:
(1)如图,点A,B,C,D,O在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的,则旋转的角度为().
A. 30°
B. 45°
C. 90°
D. 135°
(2)如图,把四边形ABOC绕点O按顺时针方向旋转得到四边形DFOE,则下列各角中,不是旋转角的是().
A. ∠BOF
B. ∠AOD
C. ∠COF
D. ∠COE
(1)如图,点A,B,C,D,O在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的,则旋转的角度为().
A. 30°
B. 45°
C. 90°
D. 135°
(2)如图,把四边形ABOC绕点O按顺时针方向旋转得到四边形DFOE,则下列各角中,不是旋转角的是().
A. ∠BOF
B. ∠AOD
C. ∠COF
D. ∠COE
答案
(1)C (2)C
解析
(1)连接OA、OC，观察方格纸，OA绕点O逆时针旋转后与OC重合，OA在水平方向，OC在竖直方向，夹角为90°，旋转角度为90°。
(2)旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，A对应D，B对应F，C对应E，O为旋转中心。∠AOD、∠BOF、∠COE是旋转角，∠COF不是。
(2)旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，A对应D，B对应F，C对应E，O为旋转中心。∠AOD、∠BOF、∠COE是旋转角，∠COF不是。
3. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中,△ABC的顶点分别在格点上,以点C为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转90°,请在方格纸中画出旋转后的△A′B′C.
答案
1. 确定点 $ C $ 为旋转中心，旋转中心不变，仍为点 $ C $。
2. 将点 $ A $ 顺时针旋转 90°：
点 $ A $ 的坐标为 $ (-1, 5) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (0, 3) $。
将点 $ A $ 相对于点 $ C $ 的坐标变为 $ (-1-0, 5-3) = (-1, 2) $。
顺时针旋转 90°后的坐标为 $ (2, 1) $。
将旋转后的点 $ A' $ 的坐标还原到原坐标系中，即 $ (2+0, 1+3) = (2, 4) $。
3. 将点 $ B $ 顺时针旋转 90°：
点 $ B $ 的坐标为 $ (0, 4) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (0, 3) $。
将点 $ B $ 相对于点 $ C $ 的坐标变为 $ (0-0, 4-3) = (0, 1) $。
顺时针旋转 90°后的坐标为 $ (1, 0) $。
将旋转后的点 $ B' $ 的坐标还原到原坐标系中，即 $ (1+0, 0+3) = (1, 3) $。
4. 连接点 $ A' $、$ B' $ 和 $ C $，得到旋转后的 $ △ A'B'C $。
最终作图：
点 $ A' $ 在 $ (2, 4) $
点 $ B' $ 在 $ (1, 3) $
点 $ C $ 仍在 $ (0, 3) $
在方格纸上按上述坐标画出 $ △ A'B'C $。
2. 将点 $ A $ 顺时针旋转 90°：
点 $ A $ 的坐标为 $ (-1, 5) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (0, 3) $。
将点 $ A $ 相对于点 $ C $ 的坐标变为 $ (-1-0, 5-3) = (-1, 2) $。
顺时针旋转 90°后的坐标为 $ (2, 1) $。
将旋转后的点 $ A' $ 的坐标还原到原坐标系中，即 $ (2+0, 1+3) = (2, 4) $。
3. 将点 $ B $ 顺时针旋转 90°：
点 $ B $ 的坐标为 $ (0, 4) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (0, 3) $。
将点 $ B $ 相对于点 $ C $ 的坐标变为 $ (0-0, 4-3) = (0, 1) $。
顺时针旋转 90°后的坐标为 $ (1, 0) $。
将旋转后的点 $ B' $ 的坐标还原到原坐标系中，即 $ (1+0, 0+3) = (1, 3) $。
4. 连接点 $ A' $、$ B' $ 和 $ C $，得到旋转后的 $ △ A'B'C $。
最终作图：
点 $ A' $ 在 $ (2, 4) $
点 $ B' $ 在 $ (1, 3) $
点 $ C $ 仍在 $ (0, 3) $
在方格纸上按上述坐标画出 $ △ A'B'C $。
解析
【分析】
要解决这个旋转作图问题，首先明确旋转的三要素：旋转中心为点C，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°。解题思路是：先确定旋转中心C的位置保持不变，再分别找出点A、点B绕点C顺时针旋转90°后的对应点A'、B'，最后连接A'、B'、C三点得到旋转后的三角形。具体操作时，可通过坐标法确定对应点：先求出点A、B相对于旋转中心C的坐标，再根据顺时针旋转90°的坐标变换规则得到相对旋转中心的新坐标，最后还原到原坐标系中得到A'、B'的位置。
【解析】
步骤1：确定旋转中心
旋转中心为点C，旋转过程中点C位置不变，其坐标为$(0,3)$。
步骤2：求点A旋转后的对应点$A'$
点A的坐标为$(-1,5)$，计算点A相对于点C的坐标：$(-1-0, 5-3)=(-1,2)$。
根据顺时针旋转90°的坐标变换规则：若点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°，对应点坐标为$(y,-x)$，则相对坐标$(-1,2)$旋转后变为$(2,1)$。
将相对坐标还原到原坐标系，点$A'$的坐标为$(2+0,1+3)=(2,4)$。
步骤3：求点B旋转后的对应点$B'$
点B的坐标为$(0,4)$，计算点B相对于点C的坐标：$(0-0,4-3)=(0,1)$。
顺时针旋转90°后，相对坐标$(0,1)$变为$(1,0)$。
还原到原坐标系，点$B'$的坐标为$(1+0,0+3)=(1,3)$。
步骤4：连接点$A'(2,4)$、$B'(1,3)$和$C(0,3)$，得到旋转后的$△ A'B'C$。
【答案】
旋转后的$△ A'B'C$顶点坐标为$A'(2,4)$，$B'(1,3)$，$C(0,3)$，按此坐标在方格纸中画出该三角形即可。
【知识点】
1. 图形的旋转作图
2. 旋转的坐标变换
【点评】
本题考查旋转作图的基本方法，解题关键是准确把握旋转三要素，利用坐标变换找到对应点位置。这类题目需注意旋转方向与角度，确保对应点位置准确，是图形变换的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个旋转作图问题，首先明确旋转的三要素：旋转中心为点C，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°。解题思路是：先确定旋转中心C的位置保持不变，再分别找出点A、点B绕点C顺时针旋转90°后的对应点A'、B'，最后连接A'、B'、C三点得到旋转后的三角形。具体操作时，可通过坐标法确定对应点：先求出点A、B相对于旋转中心C的坐标，再根据顺时针旋转90°的坐标变换规则得到相对旋转中心的新坐标，最后还原到原坐标系中得到A'、B'的位置。
【解析】
步骤1：确定旋转中心
旋转中心为点C，旋转过程中点C位置不变，其坐标为$(0,3)$。
步骤2：求点A旋转后的对应点$A'$
点A的坐标为$(-1,5)$，计算点A相对于点C的坐标：$(-1-0, 5-3)=(-1,2)$。
根据顺时针旋转90°的坐标变换规则：若点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°，对应点坐标为$(y,-x)$，则相对坐标$(-1,2)$旋转后变为$(2,1)$。
将相对坐标还原到原坐标系，点$A'$的坐标为$(2+0,1+3)=(2,4)$。
步骤3：求点B旋转后的对应点$B'$
点B的坐标为$(0,4)$，计算点B相对于点C的坐标：$(0-0,4-3)=(0,1)$。
顺时针旋转90°后，相对坐标$(0,1)$变为$(1,0)$。
还原到原坐标系，点$B'$的坐标为$(1+0,0+3)=(1,3)$。
步骤4：连接点$A'(2,4)$、$B'(1,3)$和$C(0,3)$，得到旋转后的$△ A'B'C$。
【答案】
旋转后的$△ A'B'C$顶点坐标为$A'(2,4)$，$B'(1,3)$，$C(0,3)$，按此坐标在方格纸中画出该三角形即可。
【知识点】
1. 图形的旋转作图
2. 旋转的坐标变换
【点评】
本题考查旋转作图的基本方法，解题关键是准确把握旋转三要素，利用坐标变换找到对应点位置。这类题目需注意旋转方向与角度，确保对应点位置准确，是图形变换的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,三角形②,③是由三角形①依次旋转后所得到的图形.
(1)在图中标出旋转中心P的位置;
(2)在图中画出按规律再次旋转后的三角形④.
(1)在图中标出旋转中心P的位置;
(2)在图中画出按规律再次旋转后的三角形④.
答案
(1) 旋转中心P的位置为方格图中的格点，该点在三角形①、②、③的直角顶点所对斜边中线的交点处（图中已标明位置）。
(2) 将三角形①以旋转中心P按相同方向（顺时针）再次旋转90°，得到三角形④，其三个顶点在方格图中的对应位置为：
原直角顶点（4,5）旋转后移至（5,4）；
另两个顶点依次对应旋转后的新位置。
（图略，按旋转规律画出三角形④即可。）
(2) 将三角形①以旋转中心P按相同方向（顺时针）再次旋转90°，得到三角形④，其三个顶点在方格图中的对应位置为：
原直角顶点（4,5）旋转后移至（5,4）；
另两个顶点依次对应旋转后的新位置。
（图略，按旋转规律画出三角形④即可。）
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合旋转的核心性质逐步思考：
1. 确定旋转中心P：根据旋转的性质，旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点。我们可以先找出三角形①、②、③的对应顶点（比如三个三角形的直角顶点），通过作对应点连线的垂直平分线，找到它们的交点，这个交点就是旋转中心；也可以观察图形特征，发现该中心是三个三角形斜边中线的共同交点，位于方格格点上。
2. 绘制三角形④：先分析前面的旋转规律，从①到②、②到③的旋转方向为顺时针，旋转角度为90°，因此只需以P为旋转中心，将三角形③按相同的方向和角度再次旋转，确定各顶点的对应位置后，连接即可得到三角形④。
【解析】
(1) 确定旋转中心P：
① 选取三角形①、②、③的一组对应顶点（如三个三角形的直角顶点）；
② 分别作两组对应顶点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心P，该点是方格图中的格点，位于三角形①、②、③的直角顶点所对斜边中线的交点处，在图中标出该点即可。
(2) 绘制三角形④：
① 观察可得，三角形①到②、②到③均是绕点P顺时针旋转90°得到的；
② 以点P为旋转中心，将三角形③的三个顶点分别顺时针旋转90°，确定每个顶点旋转后的对应格点位置；
③ 依次连接旋转后的三个顶点，即可得到三角形④。
【答案】
(1) 旋转中心P为方格图中三角形①、②、③对应点连线垂直平分线的交点（格点位置，在图中标出即可）；
(2) 以P为中心，将三角形③顺时针旋转90°，连接对应顶点得到三角形④（图形略，按旋转规则画出即可）。
【知识点】
旋转中心的确定，图形旋转变换作图
【点评】
本题聚焦旋转的基本性质，重点考查旋转中心的找法和旋转变换的作图能力。解题的关键是利用“旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点”这一性质定位中心，再根据已知旋转规律完成后续作图，有助于强化对图形变换规律的理解与应用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要结合旋转的核心性质逐步思考：
1. 确定旋转中心P：根据旋转的性质，旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点。我们可以先找出三角形①、②、③的对应顶点（比如三个三角形的直角顶点），通过作对应点连线的垂直平分线，找到它们的交点，这个交点就是旋转中心；也可以观察图形特征，发现该中心是三个三角形斜边中线的共同交点，位于方格格点上。
2. 绘制三角形④：先分析前面的旋转规律，从①到②、②到③的旋转方向为顺时针，旋转角度为90°，因此只需以P为旋转中心，将三角形③按相同的方向和角度再次旋转，确定各顶点的对应位置后，连接即可得到三角形④。
【解析】
(1) 确定旋转中心P：
① 选取三角形①、②、③的一组对应顶点（如三个三角形的直角顶点）；
② 分别作两组对应顶点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心P，该点是方格图中的格点，位于三角形①、②、③的直角顶点所对斜边中线的交点处，在图中标出该点即可。
(2) 绘制三角形④：
① 观察可得，三角形①到②、②到③均是绕点P顺时针旋转90°得到的；
② 以点P为旋转中心，将三角形③的三个顶点分别顺时针旋转90°，确定每个顶点旋转后的对应格点位置；
③ 依次连接旋转后的三个顶点，即可得到三角形④。
【答案】
(1) 旋转中心P为方格图中三角形①、②、③对应点连线垂直平分线的交点（格点位置，在图中标出即可）；
(2) 以P为中心，将三角形③顺时针旋转90°，连接对应顶点得到三角形④（图形略，按旋转规则画出即可）。
【知识点】
旋转中心的确定，图形旋转变换作图
【点评】
本题聚焦旋转的基本性质，重点考查旋转中心的找法和旋转变换的作图能力。解题的关键是利用“旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点”这一性质定位中心，再根据已知旋转规律完成后续作图，有助于强化对图形变换规律的理解与应用。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在5×5的方格纸中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,线段AB的顶点在格点上.
(1)在方格纸中画出平行四边形ABCD,使得平行四边形ABCD的面积为3(画出一种即可).
(2)将平行四边形ABCD绕点B按逆时针方向至少旋转多少度,才能使旋转后的平行四边形的顶点都在格点上?在图中画出旋转后的平行四边形BEFG(点E与点C对应)(画出一种即可).
(1)在方格纸中画出平行四边形ABCD,使得平行四边形ABCD的面积为3(画出一种即可).
(2)将平行四边形ABCD绕点B按逆时针方向至少旋转多少度,才能使旋转后的平行四边形的顶点都在格点上?在图中画出旋转后的平行四边形BEFG(点E与点C对应)(画出一种即可).
答案
(1)
如图所示，先确定点 $D$ 位于方格纸中 $(1, 1)$ 的位置，点 $C$ 位于 $(2, 2)$ 的位置，连接 $AD$, $DC$, $BC$，形成平行四边形 $ABCD$，面积为 3。
(其他合理解法也可能，只要保证面积为 3 即可)。
(2)
将平行四边形 $ABCD$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转 $90°$，
如图所示，平行四边形 $BEFG$ 为旋转后的图形，顶点都在格点上。
(其他合理解法也可能，只要保证顶点都在格点上即可)。
如图所示，先确定点 $D$ 位于方格纸中 $(1, 1)$ 的位置，点 $C$ 位于 $(2, 2)$ 的位置，连接 $AD$, $DC$, $BC$，形成平行四边形 $ABCD$，面积为 3。
(其他合理解法也可能，只要保证面积为 3 即可)。
(2)
将平行四边形 $ABCD$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转 $90°$，
如图所示，平行四边形 $BEFG$ 为旋转后的图形，顶点都在格点上。
(其他合理解法也可能，只要保证顶点都在格点上即可)。
解析
【分析】
(1) 要构造面积为3的平行四边形ABCD，根据平行四边形面积公式$S=底×高$，结合方格纸格点特征，已知AB为平行四边形的一条边，可通过坐标法或底高匹配的方式确定点D、C的位置，使得AB与DC平行且相等、AD与BC平行且相等，保证平行四边形面积为3。
(2) 要确定绕点B逆时针旋转的最小角度，需观察AB的坐标变化特征：AB横向格差为1、纵向格差为2，逆时针旋转90°后，对应点的坐标变换会符合格点的坐标规律，此时旋转后的平行四边形所有顶点都能落在格点上，再据此画出旋转后的图形。
【解析】
(1) 画法示例：
设A点坐标为$(2,3)$，B点坐标为$(3,1)$，取D点坐标为$(1,2)$，根据平行四边形对边平行且相等的性质，C点坐标为$B+D-A=(3+1-2,1+2-3)=(2,0)$，连接AD、DC、CB，得到平行四边形ABCD。此时通过坐标法计算面积：$S=|(3-2)×(2-3)-(1-3)×(1-2)|=|1×(-1)-(-2)×(-1)|=|-1-2|=3$，符合面积要求（图形按坐标在方格纸中绘制即可，其他合理画法均有效）。
(2) ① 确定旋转角度：
观察AB的位置，AB的横向距离为$3-2=1$，纵向距离为$1-3=-2$，绕点B逆时针旋转90°后，对应线段的横向、纵向距离会交换且符号改变，此时旋转后的各顶点坐标均为整数，即都在格点上，因此至少旋转$90°$。
② 画法示例：
根据旋转性质，点C$(2,0)$绕B$(3,1)$逆时针旋转90°，得到E点坐标：设E$(x,y)$，向量$\overrightarrow{BC}=(-1,-1)$，旋转90°后向量$\overrightarrow{BE}=(1,-1)$，故E点坐标为$(3+1,1-1)=(4,0)$；同理可得F、G点坐标，连接BE、EF、FG、GB，得到平行四边形BEFG（图形按旋转规则绘制即可，其他合理画法均有效）。
【答案】
(1) 画出的平行四边形ABCD如图所示（答案不唯一，满足面积为3即可）；
(2) 至少旋转$\boldsymbol{90°}$，旋转后的平行四边形BEFG如图所示（答案不唯一，满足顶点均在格点上即可）。
【知识点】
平行四边形的构造、图形旋转的性质、平行四边形面积计算
【点评】
本题考查平行四边形的绘制与图形旋转的实际应用，需要熟练运用平行四边形的性质、面积公式及旋转的坐标变换规律，结合方格纸的格点特征进行操作，锻炼空间想象能力与动手绘图能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要构造面积为3的平行四边形ABCD，根据平行四边形面积公式$S=底×高$，结合方格纸格点特征，已知AB为平行四边形的一条边，可通过坐标法或底高匹配的方式确定点D、C的位置，使得AB与DC平行且相等、AD与BC平行且相等，保证平行四边形面积为3。
(2) 要确定绕点B逆时针旋转的最小角度，需观察AB的坐标变化特征：AB横向格差为1、纵向格差为2，逆时针旋转90°后，对应点的坐标变换会符合格点的坐标规律，此时旋转后的平行四边形所有顶点都能落在格点上，再据此画出旋转后的图形。
【解析】
(1) 画法示例：
设A点坐标为$(2,3)$，B点坐标为$(3,1)$，取D点坐标为$(1,2)$，根据平行四边形对边平行且相等的性质，C点坐标为$B+D-A=(3+1-2,1+2-3)=(2,0)$，连接AD、DC、CB，得到平行四边形ABCD。此时通过坐标法计算面积：$S=|(3-2)×(2-3)-(1-3)×(1-2)|=|1×(-1)-(-2)×(-1)|=|-1-2|=3$，符合面积要求（图形按坐标在方格纸中绘制即可，其他合理画法均有效）。
(2) ① 确定旋转角度：
观察AB的位置，AB的横向距离为$3-2=1$，纵向距离为$1-3=-2$，绕点B逆时针旋转90°后，对应线段的横向、纵向距离会交换且符号改变，此时旋转后的各顶点坐标均为整数，即都在格点上，因此至少旋转$90°$。
② 画法示例：
根据旋转性质，点C$(2,0)$绕B$(3,1)$逆时针旋转90°，得到E点坐标：设E$(x,y)$，向量$\overrightarrow{BC}=(-1,-1)$，旋转90°后向量$\overrightarrow{BE}=(1,-1)$，故E点坐标为$(3+1,1-1)=(4,0)$；同理可得F、G点坐标，连接BE、EF、FG、GB，得到平行四边形BEFG（图形按旋转规则绘制即可，其他合理画法均有效）。
【答案】
(1) 画出的平行四边形ABCD如图所示（答案不唯一，满足面积为3即可）；
(2) 至少旋转$\boldsymbol{90°}$，旋转后的平行四边形BEFG如图所示（答案不唯一，满足顶点均在格点上即可）。
【知识点】
平行四边形的构造、图形旋转的性质、平行四边形面积计算
【点评】
本题考查平行四边形的绘制与图形旋转的实际应用，需要熟练运用平行四边形的性质、面积公式及旋转的坐标变换规律，结合方格纸的格点特征进行操作，锻炼空间想象能力与动手绘图能力。
【难度系数】
0.6
