1. (2024·齐齐哈尔)如果关于$x$的分式方程$\frac{1}{x}-\frac{m}{x + 1}=0$的解是负数，那么实数$m$的取值范围是 （ ）
A. $m＜1$且$m\neq0$
B. $m＜1$
C. $m＞1$
D. $m＜1$且$m\neq - 1$

A

2. (2023·如皋月考)关于$x$的分式方程$\frac{2x + 3}{1 - x}-\frac{a - 3}{x - 1}=1$的解满足不等式$\frac{x - 1}{2}+2＞\frac{1 + x}{3}$，求$a$的取值范围.

解：解关于x的分式方程$\frac{2x + 3}{1 - x}-\frac{a - 3}{x - 1}=1$，得$x=\frac{1 - a}{3}$。
$\because x\neq1$，$\therefore\frac{1 - a}{3}\neq1$，$\therefore a\neq - 2$。
解不等式$\frac{x - 1}{2}+2＞\frac{1 + x}{3}$，得$x ＞ - 7$。
$\because$关于x的分式方程$\frac{2x + 3}{1 - x}-\frac{a - 3}{x - 1}=1$的解满足不等式$\frac{x - 1}{2}+2＞\frac{1 + x}{3}$，
$\therefore\frac{1 - a}{3}＞-7$，解得$a ＜ 22$，
$\therefore a$的取值范围是$a ＜ 22$且$a\neq - 2$。

3. 已知关于$x$的方程$\frac{ax + 1}{x - 1}-\frac{2}{1 - x}=1$.
　(1)当$a = 3$时，求这个方程的解;
　(2)若这个方程有增根，则$a$的值为_______.

(1)解：当$a = 3$时，
原方程为$\frac{3x + 1}{x - 1}-\frac{2}{1 - x}=1$，
方程两边同乘$(x - 1)$，得$3x + 1+2=x - 1$，
解得$x = - 2$。
检验：当$x = - 2$时，$x - 1\neq0$，
$\therefore x = - 2$是原分式方程的解。
(2)$-3$

4. 若解关于$x$的方程$\frac{x + 1}{x + 2}-\frac{x}{x - 1}=\frac{kx + 2}{(x - 1)(x + 2)}$时产生了增根，请求出所有满足条件的$k$的值.

解：方程去分母，得$(x + 1)(x - 1)-x(x + 2)=kx + 2$，整理，得$(k + 2)x=-3$，分以下两种情况：
令$x = 1$，则$k + 2=-3$，$\therefore k=-5$；
令$x=-2$，则$-2(k + 2)=-3$，$\therefore k=-\frac{1}{2}$。
综上，$k$的值为$-5$或$-\frac{1}{2}$。