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一、选择题
1. 一只不透明的袋子中装有6个黑球、3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为().
(A) $\frac{1}{9}$
(B) $\frac{1}{3}$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{2}{3}$
1. 一只不透明的袋子中装有6个黑球、3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为().
(A) $\frac{1}{9}$
(B) $\frac{1}{3}$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【解析】
首先计算袋子中球的总数：6+3=9（个），
根据概率公式，摸到白球的概率=白球个数÷总球数，即$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型概率计算
【点评】
本题考查简单的古典概型概率计算，解题关键是明确总事件数和所求事件对应的情况数，再利用概率公式求解。
首先计算袋子中球的总数：6+3=9（个），
根据概率公式，摸到白球的概率=白球个数÷总球数，即$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型概率计算
【点评】
本题考查简单的古典概型概率计算，解题关键是明确总事件数和所求事件对应的情况数，再利用概率公式求解。
2. 某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)分别是：180，184，188，190，192，194. 现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高().
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
答案
A
解析
【解析】
1. 计算换人前的平均数：
$\bar{x}_前=\frac{180+184+188+190+192+194}{6}=188$（cm）
换人前的方差：
$s^2_前=\frac{1}{6}[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]=\frac{136}{6}\approx22.67$
2. 计算换人后的平均数：
$\bar{x}_后=\frac{180+184+188+190+186+194}{6}=187$（cm）
换人后的方差：
$s^2_后=\frac{1}{6}[(180-187)^2+(184-187)^2+(188-187)^2+(190-187)^2+(186-187)^2+(194-187)^2]=\frac{118}{6}\approx19.67$
3. 比较可知：$\bar{x}_后＜\bar{x}_前$，$s^2_后＜s^2_前$，即平均数变小，方差变小。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；方差计算；统计量变化比较
【点评】
本题主要考查平均数与方差的计算及应用，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键，通过计算前后统计量的数值并比较大小，即可得出结论。
1. 计算换人前的平均数：
$\bar{x}_前=\frac{180+184+188+190+192+194}{6}=188$（cm）
换人前的方差：
$s^2_前=\frac{1}{6}[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]=\frac{136}{6}\approx22.67$
2. 计算换人后的平均数：
$\bar{x}_后=\frac{180+184+188+190+186+194}{6}=187$（cm）
换人后的方差：
$s^2_后=\frac{1}{6}[(180-187)^2+(184-187)^2+(188-187)^2+(190-187)^2+(186-187)^2+(194-187)^2]=\frac{118}{6}\approx19.67$
3. 比较可知：$\bar{x}_后＜\bar{x}_前$，$s^2_后＜s^2_前$，即平均数变小，方差变小。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；方差计算；统计量变化比较
【点评】
本题主要考查平均数与方差的计算及应用，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键，通过计算前后统计量的数值并比较大小，即可得出结论。
3. 已知一个直角三角形中：① 两条边的长度，② 两个锐角的度数，③ 一个锐角的度数和一条边的长度. 利用上述条件中的一个，能解这个直角三角形的是().
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
B
解析
【解析】
对每个条件逐一分析：
1. 对于条件①：已知直角三角形两条边的长度，若为两条直角边，可通过勾股定理求出斜边，再利用三角函数求出两个锐角；若为一条直角边和斜边，可通过勾股定理求出另一条直角边，再利用三角函数求出锐角，因此能解这个直角三角形。
2. 对于条件②：仅知道两个锐角的度数，只能确定三角形的形状，无法确定边长的大小，不能求出各边的长度，因此不能解这个直角三角形。
3. 对于条件③：已知一个锐角的度数和一条边的长度，结合直角可求出另一个锐角，再通过三角函数可求出另外两条边的长度，因此能解这个直角三角形。
综上，能解这个直角三角形的是①③。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的解法，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题考查直角三角形的求解条件，需明确解直角三角形是要确定所有未知的边和角，注意区分仅确定形状与能确定大小的情况，避免概念混淆。
对每个条件逐一分析：
1. 对于条件①：已知直角三角形两条边的长度，若为两条直角边，可通过勾股定理求出斜边，再利用三角函数求出两个锐角；若为一条直角边和斜边，可通过勾股定理求出另一条直角边，再利用三角函数求出锐角，因此能解这个直角三角形。
2. 对于条件②：仅知道两个锐角的度数，只能确定三角形的形状，无法确定边长的大小，不能求出各边的长度，因此不能解这个直角三角形。
3. 对于条件③：已知一个锐角的度数和一条边的长度，结合直角可求出另一个锐角，再通过三角函数可求出另外两条边的长度，因此能解这个直角三角形。
综上，能解这个直角三角形的是①③。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的解法，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题考查直角三角形的求解条件，需明确解直角三角形是要确定所有未知的边和角，注意区分仅确定形状与能确定大小的情况，避免概念混淆。
4. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$与$△ DEF$面积之比为$1:2$. 当$BC = 1$，对应边$EF$的长是().
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.3
D.4
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
【解析】
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知$△ABC∽△DEF$，且面积之比为$1:2$，所以它们的相似比为$1:\sqrt{2}$。
又因为$BC$与$EF$是对应边，$BC = 1$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，代入$BC=1$，解得$EF=\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题主要考查相似三角形的核心性质，需牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方这一关键结论，避免将面积比与相似比直接等同，准确利用对应边成比例求解边长。
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知$△ABC∽△DEF$，且面积之比为$1:2$，所以它们的相似比为$1:\sqrt{2}$。
又因为$BC$与$EF$是对应边，$BC = 1$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，代入$BC=1$，解得$EF=\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题主要考查相似三角形的核心性质，需牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方这一关键结论，避免将面积比与相似比直接等同，准确利用对应边成比例求解边长。
5. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$\cos A = \frac{3}{5}$，$AC = 6$，那么$BC$等于().
A.8
B.$\frac{24}{5}$
C.$\frac{18}{5}$
D.$\frac{6}{5}$
A.8
B.$\frac{24}{5}$
C.$\frac{18}{5}$
D.$\frac{6}{5}$
答案
A
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，根据余弦的定义，$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$。
已知$AC = 6$，代入得$\frac{6}{AB} = \frac{3}{5}$，解得$AB = 10$。
由勾股定理可得：$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题考查锐角三角函数定义与勾股定理的综合应用，熟练掌握余弦的定义求出斜边长度是解题的核心，再利用勾股定理即可求出另一条直角边。
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，根据余弦的定义，$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$。
已知$AC = 6$，代入得$\frac{6}{AB} = \frac{3}{5}$，解得$AB = 10$。
由勾股定理可得：$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题考查锐角三角函数定义与勾股定理的综合应用，熟练掌握余弦的定义求出斜边长度是解题的核心，再利用勾股定理即可求出另一条直角边。
