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9. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD$，$AD = BC$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，且 $OA = OB$. 求证：四边形 $ABCD$ 是矩形.
答案
9.
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC=2OA，BD=2OB.
∵OA=OB，
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC=2OA，BD=2OB.
∵OA=OB，
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形
解析
【分析】
要证明四边形$ABCD$是矩形，可按以下思路推导：首先根据已知的两组对边分别相等（$AB=CD$，$AD=BC$），先判定四边形$ABCD$是平行四边形；再利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合$OA=OB$的条件，推导出对角线$AC=BD$；最后根据“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定定理，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $ AB = CD $，$ AD = BC $，
∴ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
∴ $ AC = 2OA $，$ BD = 2OB $（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ $ OA = OB $，
∴ $ AC = BD $。
∴ 四边形 $ ABCD $ 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
四边形 $ ABCD $ 是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的判定及性质的综合运用，解题核心是熟练掌握相关定理，按照“先证平行四边形，再证矩形”的逻辑逐步推导，明确条件与结论的关联。
【难度系数】
0.8
要证明四边形$ABCD$是矩形，可按以下思路推导：首先根据已知的两组对边分别相等（$AB=CD$，$AD=BC$），先判定四边形$ABCD$是平行四边形；再利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合$OA=OB$的条件，推导出对角线$AC=BD$；最后根据“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定定理，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $ AB = CD $，$ AD = BC $，
∴ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
∴ $ AC = 2OA $，$ BD = 2OB $（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ $ OA = OB $，
∴ $ AC = BD $。
∴ 四边形 $ ABCD $ 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
四边形 $ ABCD $ 是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的判定及性质的综合运用，解题核心是熟练掌握相关定理，按照“先证平行四边形，再证矩形”的逻辑逐步推导，明确条件与结论的关联。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在$□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，过点 $A$ 作 $BC$ 的垂线，垂足为 $E$，延长 $BC$ 到点 $F$，使 $CF = BE$，连接 $DF$. 求证：四边形 $AEFD$ 是矩形.
答案
10.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC且AD=BC.
∵BE=CF，
∴BC=EF.
∴AD=EF，
∵AD//EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°.
∴四边形AEFD是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC且AD=BC.
∵BE=CF，
∴BC=EF.
∴AD=EF，
∵AD//EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°.
∴四边形AEFD是矩形
解析
【分析】
要证明四边形AEFD是矩形，可先利用平行四边形的判定定理证明它是平行四边形，再结合直角条件证明其为矩形。具体思路如下：
1. 由平行四边形$ABCD$的性质，得到$AD// BC$且$AD=BC$；
2. 根据$BE=CF$，推出$BC=EF$，进而得到$AD=EF$，结合$AD// EF$，可证四边形$AEFD$是平行四边形；
3. 利用$AE⊥ BC$得出$∠ AEF=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$且$AD=BC$（平行四边形对边平行且相等）。
∵$BE=CF$，
∴$BE+EC=CF+EC$（等式的性质），即$BC=EF$。
∴$AD=EF$。
又
∵$AD// BC$，即$AD// EF$，
∴四边形$AEFD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵$AE⊥ BC$，
∴$∠ AEF=90°$（垂直的定义）。
∴四边形$AEFD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
【答案】
四边形$AEFD$是矩形，证明如上。
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 平行四边形的判定
3. 矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的判定及性质的综合应用，解题关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理，通过逐步推导完成证明，逻辑清晰，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.7
要证明四边形AEFD是矩形，可先利用平行四边形的判定定理证明它是平行四边形，再结合直角条件证明其为矩形。具体思路如下：
1. 由平行四边形$ABCD$的性质，得到$AD// BC$且$AD=BC$；
2. 根据$BE=CF$，推出$BC=EF$，进而得到$AD=EF$，结合$AD// EF$，可证四边形$AEFD$是平行四边形；
3. 利用$AE⊥ BC$得出$∠ AEF=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$且$AD=BC$（平行四边形对边平行且相等）。
∵$BE=CF$，
∴$BE+EC=CF+EC$（等式的性质），即$BC=EF$。
∴$AD=EF$。
又
∵$AD// BC$，即$AD// EF$，
∴四边形$AEFD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵$AE⊥ BC$，
∴$∠ AEF=90°$（垂直的定义）。
∴四边形$AEFD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
【答案】
四边形$AEFD$是矩形，证明如上。
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 平行四边形的判定
3. 矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的判定及性质的综合应用，解题关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理，通过逐步推导完成证明，逻辑清晰，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，点 $G$ 在边 $BC$ 的延长线上，$CE$ 平分$∠ BCD$，$CF$ 平分$∠ GCD$，$EF// BC$，交 $CD$ 于点 $O$.
（1）求证：$OE = OF$.
（2）若 $O$ 为 $CD$ 的中点，求证：四边形 $DECF$ 是矩形.
（1）求证：$OE = OF$.
（2）若 $O$ 为 $CD$ 的中点，求证：四边形 $DECF$ 是矩形.
答案
11. (1)
∵CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，
∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF.
∵EF//BC，
∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF.
∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF.
∴OE=OC，OF=OC.
∴OE=OF (2)
∵O为CD的中点，
∴OD=OC. 又OE=OF.
∴四边形DECF是平行四边形.
∵CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCG.
∴∠DCE+∠DCF=$\frac{1}{2}$(∠BCD+∠DCG)=90°，即∠ECF=90°.
∴四边形DECF是矩形
∵CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，
∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF.
∵EF//BC，
∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF.
∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF.
∴OE=OC，OF=OC.
∴OE=OF (2)
∵O为CD的中点，
∴OD=OC. 又OE=OF.
∴四边形DECF是平行四边形.
∵CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCG.
∴∠DCE+∠DCF=$\frac{1}{2}$(∠BCD+∠DCG)=90°，即∠ECF=90°.
∴四边形DECF是矩形
解析
【分析】
（1）要证明$OE=OF$，可先利用角平分线的性质得到角的等量关系，再结合平行线的性质，通过等角对等边得到$OE=OC$、$OF=OC$，进而推出$OE=OF$；
（2）要证明四边形$DECF$是矩形，先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合$O$是$CD$中点和（1）的结论证明四边形$DECF$是平行四边形，再利用角平分线的性质证明$∠ ECF=90°$，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证。
【解析】
（1）证明：
∵$CE$平分$∠ BCD$，$CF$平分$∠ GCD$，
∴$∠ BCE=∠ DCE$，$∠ DCF=∠ GCF$。
∵$EF// BC$，
∴$∠ BCE=∠ FEC$，$∠ EFC=∠ GCF$。
∴$∠ DCE=∠ FEC$，$∠ EFC=∠ DCF$。
根据等角对等边，可得$OE=OC$，$OF=OC$。
∴$OE=OF$。
（2）证明：
∵$O$为$CD$的中点，
∴$OD=OC$。
又
∵由（1）知$OE=OF$，
∴四边形$DECF$的对角线互相平分，故四边形$DECF$是平行四边形。
∵$CE$平分$∠ BCD$，$CF$平分$∠ GCD$，
∴$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ BCD$，$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ DCG$。
∴$∠ DCE+∠ DCF=\frac{1}{2}(∠ BCD+∠ DCG)$，
又
∵$∠ BCD+∠ DCG=180°$，
∴$∠ DCE+∠ DCF=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ ECF=90°$。
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴四边形$DECF$是矩形。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）证明见上述解析；
【知识点】
角平分线性质，平行线性质，矩形的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线的性质，以及平行四边形和矩形的判定定理，需要熟练掌握相关几何定理，通过角与角、边与边的等量转化，逐步完成证明，培养逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$OE=OF$，可先利用角平分线的性质得到角的等量关系，再结合平行线的性质，通过等角对等边得到$OE=OC$、$OF=OC$，进而推出$OE=OF$；
（2）要证明四边形$DECF$是矩形，先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合$O$是$CD$中点和（1）的结论证明四边形$DECF$是平行四边形，再利用角平分线的性质证明$∠ ECF=90°$，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证。
【解析】
（1）证明：
∵$CE$平分$∠ BCD$，$CF$平分$∠ GCD$，
∴$∠ BCE=∠ DCE$，$∠ DCF=∠ GCF$。
∵$EF// BC$，
∴$∠ BCE=∠ FEC$，$∠ EFC=∠ GCF$。
∴$∠ DCE=∠ FEC$，$∠ EFC=∠ DCF$。
根据等角对等边，可得$OE=OC$，$OF=OC$。
∴$OE=OF$。
（2）证明：
∵$O$为$CD$的中点，
∴$OD=OC$。
又
∵由（1）知$OE=OF$，
∴四边形$DECF$的对角线互相平分，故四边形$DECF$是平行四边形。
∵$CE$平分$∠ BCD$，$CF$平分$∠ GCD$，
∴$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ BCD$，$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ DCG$。
∴$∠ DCE+∠ DCF=\frac{1}{2}(∠ BCD+∠ DCG)$，
又
∵$∠ BCD+∠ DCG=180°$，
∴$∠ DCE+∠ DCF=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ ECF=90°$。
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴四边形$DECF$是矩形。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）证明见上述解析；
【知识点】
角平分线性质，平行线性质，矩形的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线的性质，以及平行四边形和矩形的判定定理，需要熟练掌握相关几何定理，通过角与角、边与边的等量转化，逐步完成证明，培养逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
