13. $(2\sqrt{48} - 3\sqrt{27}) ÷ \sqrt{6}$。

$13. -\frac{\sqrt{2}}{2}$

【解析】
1. 化简二次根式：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
2. 计算括号内的部分：
$2\sqrt{48}-3\sqrt{27}=2×4\sqrt{3}-3×3\sqrt{3}=8\sqrt{3}-9\sqrt{3}=-\sqrt{3}$
3. 进行除法运算并化简：
$(-\sqrt{3})÷\sqrt{6}=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{3}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=-\frac{3\sqrt{2}}{6}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式的化简，二次根式的混合运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题核心是先将各二次根式化为最简形式，再按照运算顺序计算，可有效简化运算步骤。
【难度系数】
0.6

14. $(2 + \sqrt{10})^2(14 - 4\sqrt{10})$。

36

【解析】
1. 利用完全平方公式展开$(2+\sqrt{10})^2$：
$(2+\sqrt{10})^2=2^2+2×2×\sqrt{10}+(\sqrt{10})^2=4+4\sqrt{10}+10=14+4\sqrt{10}$
2. 将原式转化为平方差形式计算：
原式=$(14+4\sqrt{10})(14-4\sqrt{10})=14^2-(4\sqrt{10})^2=196-16×10=196-160=36$
【答案】
36
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，灵活运用乘法公式可简化运算，避免繁琐的直接展开计算，提升计算准确性与效率。
【难度系数】
0.6

四、解答题（共 30 分）
15. （8 分）先化简，再求值：$(1 + \frac{1 - x}{1 + x}) ÷ \frac{2x - 2}{x^2 + 2x + 1}$，其中$x = \sqrt{2} + 1$。

$\frac{x + 1}{x - 1}\cdot\sqrt{2}+1$

【解析】
1. 化简原式：
先计算括号内的部分：
$1 + \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 + x} = \frac{2}{1 + x}$
将除法转化为乘法，并分解因式：
$\frac{2}{1 + x} ÷ \frac{2(x - 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{1 + x} · \frac{(x + 1)^2}{2(x - 1)}$
约分后得：$\frac{x + 1}{x - 1}$
2. 代入$x = \sqrt{2} + 1$求值：
当$x = \sqrt{2} + 1$时，$x - 1 = \sqrt{2}$，$x + 1 = \sqrt{2} + 2$，
则$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} + 2)×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + 1$
【答案】
$\sqrt{2} + 1$
【知识点】
分式的化简求值、因式分解、分式四则运算
【点评】
本题主要考查分式的化简求值，需熟练掌握分式的运算法则及因式分解方法，代入求值时注意二次根式的运算规范，计算过程需细心严谨。
【难度系数】
0.6

16. （10 分）一个直角三角形的两条直角边长分别是$(3 - \sqrt{2})$cm，$(3 + \sqrt{2})$cm，求这个直角三角形的面积和周长。

面积$=\frac{1}{2}\times(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})=\frac{7}{2}$，周长$=\sqrt{(3 + \sqrt{2})^2+(3 - \sqrt{2})^2}+(3 + \sqrt{2})+(3 - \sqrt{2})=6+\sqrt{22}$

【解析】
1. 计算面积：
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a,b$为直角边），代入得：
$S=\frac{1}{2}×(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})$
利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得$(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2=7$，
因此面积$S=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$（cm²）。
2. 计算周长：
根据勾股定理求斜边$c$：
$c=\sqrt{(3 - \sqrt{2})^2+(3 + \sqrt{2})^2}$
展开平方项：$(3 - \sqrt{2})^2=9-6\sqrt{2}+2$，$(3 + \sqrt{2})^2=9+6\sqrt{2}+2$，
相加得$9-6\sqrt{2}+2+9+6\sqrt{2}+2=22$，故$c=\sqrt{22}$（cm）。
周长$C=(3 - \sqrt{2})+(3 + \sqrt{2})+\sqrt{22}=6+\sqrt{22}$（cm）。
【答案】
面积为$\boldsymbol{\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}^2}$，周长为$\boldsymbol{(6+\sqrt{22})\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
勾股定理、二次根式混合运算、直角三角形面积周长计算
【点评】
本题考查直角三角形的基本性质与二次根式的混合运算，需熟练运用平方差、完全平方公式简化计算，注重运算的准确性。
【难度系数】
0.6

17. （12 分）如图①，$C$是线段$BD$上的一个动点，$AB ⊥ BD$，$ED ⊥ BD$，垂足分别为$B$，$D$，连接$AC$，$EC$。已知$AB = 5$，$DE = 1$，$BD = 8$，设$BC = x$。

（1）用含$x$的代数式表示$AC + CE$的值，并回答：当点$A$，$C$，$E$满足什么条件时，$AC + CE$的值最小。
（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知点$M(0,4)$，$N(3,2)$，请根据（1）中的结论在$x$轴上找一点$P$，使$PM + PN$的值最小，求出点$P$的坐标和$PM + PN$的最小值。

$(1) AC + CE=\sqrt{25 + x^2}+\sqrt{1+(8 - x)^2} $当A、C、E三点共线时，值最小$ (2) P(2,0) 3\sqrt{5}$

【解析】
（1）在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+x^2}=\sqrt{25+x^2}$，
在$Rt△ CDE$中，$CD=BD-BC=8-x$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{1^2+(8-x)^2}=\sqrt{1+(8-x)^2}$，
所以$AC + CE=\sqrt{25 + x^2}+\sqrt{1+(8 - x)^2}$。
根据两点之间线段最短，当点$A$、$C$、$E$三点共线时，$AC + CE$的值最小。
（2）作点$M(0,4)$关于$x$轴的对称点$M'(0,-4)$，连接$M'N$，与$x$轴的交点即为所求点$P$。
设直线$M'N$的解析式为$y=kx+b$，将$M'(0,-4)$，$N(3,2)$代入得：
$\begin{cases}b=-4\\3k + b=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=2\\b=-4\end{cases}$，
所以直线$M'N$的解析式为$y=2x-4$。
令$y=0$，则$2x-4=0$，解得$x=2$，故$P(2,0)$。
$PM + PN$的最小值为$M'N$的长度，由两点间距离公式得：
$M'N=\sqrt{(3-0)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $AC + CE=\sqrt{25 + x^2}+\sqrt{1+(8 - x)^2}$；当点$A$、$C$、$E$三点共线时，$AC + CE$的值最小
(2) 点$P$的坐标为$(2,0)$，$PM + PN$的最小值为$3\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；两点之间线段最短；一次函数的应用
【点评】
本题综合考查几何与代数知识，利用转化思想将最短路径问题转化为两点之间线段最短，结合勾股定理和一次函数求解，体现了数形结合思想。
【难度系数】
0.6