登录
例 3 计算：
(1) $ \sqrt{121} $；
(2) $ \sqrt{(-7)^2} $；
(3) $ -\sqrt{( -\dfrac{5}{4} )^2} $；
(4) $ \sqrt{( -\dfrac{1}{5} )^{-2}} $。
(1) $ \sqrt{121} $；
(2) $ \sqrt{(-7)^2} $；
(3) $ -\sqrt{( -\dfrac{5}{4} )^2} $；
(4) $ \sqrt{( -\dfrac{1}{5} )^{-2}} $。
答案
(1) $\sqrt{121}=\sqrt{11^2}=11$
(2) $\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$
(3) $-\sqrt{(-\dfrac{5}{4})^2}=-\left|-\dfrac{5}{4}\right|=-\dfrac{5}{4}$
(4) $\sqrt{(-\dfrac{1}{5})^{-2}}=\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$
(2) $\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$
(3) $-\sqrt{(-\dfrac{5}{4})^2}=-\left|-\dfrac{5}{4}\right|=-\dfrac{5}{4}$
(4) $\sqrt{(-\dfrac{1}{5})^{-2}}=\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$
(1) 要使式子 $ \sqrt{a^2} = -a $ 成立，$ a $ 的取值范围是 。
(2) 把 $ -x \sqrt{-\dfrac{1}{x}} $ 中根号外的 $ x $ 移入根号内，则 $ -x \sqrt{-\dfrac{1}{x}} = $ 。
(2) 把 $ -x \sqrt{-\dfrac{1}{x}} $ 中根号外的 $ x $ 移入根号内，则 $ -x \sqrt{-\dfrac{1}{x}} = $ 。
答案
(1) 因为$\sqrt{a^2} = |a|$，要使$|a| = -a$，则$a ≤ 0$。
(2) 由$-\dfrac{1}{x} ≥ 0$得$x ＜ 0$，则$-x ＞ 0$，$-x\sqrt{-\dfrac{1}{x}} = \sqrt{(-x)^2 · (-\dfrac{1}{x})} = \sqrt{-x}$。
(1) $a ≤ 0$
(2) $\sqrt{-x}$
(2) 由$-\dfrac{1}{x} ≥ 0$得$x ＜ 0$，则$-x ＞ 0$，$-x\sqrt{-\dfrac{1}{x}} = \sqrt{(-x)^2 · (-\dfrac{1}{x})} = \sqrt{-x}$。
(1) $a ≤ 0$
(2) $\sqrt{-x}$
1. 下列计算正确的是()
A.$ -(\sqrt{6})^2 = -6 $
B.$ (\sqrt{3})^2 = 9 $
C.$ (\sqrt{16})^2 = \pm 16 $
D.$ -( -\sqrt{\dfrac{16}{25}} )^2 = \dfrac{16}{25} $
A.$ -(\sqrt{6})^2 = -6 $
B.$ (\sqrt{3})^2 = 9 $
C.$ (\sqrt{16})^2 = \pm 16 $
D.$ -( -\sqrt{\dfrac{16}{25}} )^2 = \dfrac{16}{25} $
答案
A
解析
A 选项：根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^2 = a(a≥0)$，那么$(\sqrt{6})^2 = 6$，所以$-(\sqrt{6})^2=-6$，该选项正确；
B 选项：由上述性质可得$(\sqrt{3})^2 = 3≠9$，该选项错误；
C 选项：因为$\sqrt{16}=4$，所以$(\sqrt{16})^2 = 16$，而不是$\pm16$，该选项错误；
D 选项：先看$(-\sqrt{\frac{16}{25}})^2$，$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$，则$(-\sqrt{\frac{16}{25}})^2 = (\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$，所以$-(-\sqrt{\frac{16}{25}})^2=-\frac{16}{25}≠\frac{16}{25}$，该选项错误。
B 选项：由上述性质可得$(\sqrt{3})^2 = 3≠9$，该选项错误；
C 选项：因为$\sqrt{16}=4$，所以$(\sqrt{16})^2 = 16$，而不是$\pm16$，该选项错误；
D 选项：先看$(-\sqrt{\frac{16}{25}})^2$，$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$，则$(-\sqrt{\frac{16}{25}})^2 = (\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$，所以$-(-\sqrt{\frac{16}{25}})^2=-\frac{16}{25}≠\frac{16}{25}$，该选项错误。
2. 已知 $ \sqrt{a - 2} + |b + 2| = 0 $，则 $ a^b = $()
A.$ -4 $
B.$ -\dfrac{1}{4} $
C.$ 4 $
D.$ \dfrac{1}{4} $
A.$ -4 $
B.$ -\dfrac{1}{4} $
C.$ 4 $
D.$ \dfrac{1}{4} $
答案
D
解析
因为$\sqrt{a - 2} ≥ 0$，$|b + 2| ≥ 0$，且$\sqrt{a - 2} + |b + 2| = 0$，所以$\sqrt{a - 2} = 0$，$|b + 2| = 0$。解得$a = 2$，$b = -2$。则$a^b = 2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}$。
3. 当 $ x = $ 时，二次根式 $ 3 + 2 \sqrt{x + 1} $ 取最小值，其最小值为 。
答案
-1；3
解析
因为二次根式$\sqrt{x+1} ≥ 0$，当且仅当$x+1=0$，即$x=-1$时，$\sqrt{x+1}$取最小值$0$。此时$3 + 2\sqrt{x + 1}=3 + 2×0=3$。所以当$x=-1$时，二次根式$3 + 2\sqrt{x + 1}$取最小值，最小值为$3$。
4. 若 $ \sqrt{(m - 2)^2} = 2 - m $，则 $ m $ 的取值范围是 。
答案
$m ≤ 2$
解析
因为$\sqrt{(m - 2)^2} = |m - 2|$，又$\sqrt{(m - 2)^2} = 2 - m$，所以$|m - 2| = 2 - m$。根据绝对值的性质，$|a| = -a$时$a ≤ 0$，可得$m - 2 ≤ 0$，解得$m ≤ 2$。
5. 计算：
(1) $ ( \sqrt{\dfrac{3}{2}} )^2 $；
(2) $ (-3\sqrt{3})^2 $；
(3) $ -\sqrt{(-3)^2} $；
(4) $ \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} $。
(1) $ ( \sqrt{\dfrac{3}{2}} )^2 $；
(2) $ (-3\sqrt{3})^2 $；
(3) $ -\sqrt{(-3)^2} $；
(4) $ \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} $。
答案
(1)
解：
根据二次根式的性质，$(\sqrt{a} )^2 =a（a\ge 0）$ ，所以
$(\sqrt{\frac{3}{2}} )^2 = \frac{3}{2}$
(2)
解：
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，以及二次根式的性质$(\sqrt{a} )^2 =a（a\ge 0）$，所以
$(-3\sqrt{3})^2 = (-3)^2 × (\sqrt{3})^2 = 9 × 3 = 27$
(3)
解：
首先根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，所以
$-\sqrt{(-3)^2} = -\sqrt{9} = -3$
(4)
解：
首先根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，所以
$\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} = |\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}$
解：
根据二次根式的性质，$(\sqrt{a} )^2 =a（a\ge 0）$ ，所以
$(\sqrt{\frac{3}{2}} )^2 = \frac{3}{2}$
(2)
解：
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，以及二次根式的性质$(\sqrt{a} )^2 =a（a\ge 0）$，所以
$(-3\sqrt{3})^2 = (-3)^2 × (\sqrt{3})^2 = 9 × 3 = 27$
(3)
解：
首先根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，所以
$-\sqrt{(-3)^2} = -\sqrt{9} = -3$
(4)
解：
首先根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，所以
$\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} = |\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}$
6. 实数 $ a, b $ 在数轴上的对应点的位置如图，化简：$ |a| + \sqrt{(a - b)^2} - |a + b| $。
答案
$2b - a$
解析
由数轴可知：$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，且$|a| ＞ |b|$。
1. $|a| = -a$（因为$a ＜ 0$）；
2. $\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|$，又$a - b ＜ 0$，故$|a - b| = b - a$；
3. $a + b ＜ 0$（因为$|a| ＞ |b|$），故$|a + b| = -a - b$。
原式$= |a| + \sqrt{(a - b)^2} - |a + b| = (-a) + (b - a) - (-a - b)$
$= -a + b - a + a + b = -a + 2b$。
1. $|a| = -a$（因为$a ＜ 0$）；
2. $\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|$，又$a - b ＜ 0$，故$|a - b| = b - a$；
3. $a + b ＜ 0$（因为$|a| ＞ |b|$），故$|a + b| = -a - b$。
原式$= |a| + \sqrt{(a - b)^2} - |a + b| = (-a) + (b - a) - (-a - b)$
$= -a + b - a + a + b = -a + 2b$。
7. 已知 $ |7 - 9m| + (n - 3)^2 = 9m - 7 - \sqrt{m - 4} $，求 $ (n - m)^{2026} $。
答案
1
解析
由二次根式有意义的条件，得$m - 4 ≥ 0$，即$m ≥ 4$。
因为$m ≥ 4$，所以$9m ≥ 36$，则$7 - 9m ＜ 0$，故$|7 - 9m| = 9m - 7$。
原等式可化为：$9m - 7 + (n - 3)^2 = 9m - 7 - \sqrt{m - 4}$。
移项整理得：$(n - 3)^2 + \sqrt{m - 4} = 0$。
因为$(n - 3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{m - 4} ≥ 0$，所以$n - 3 = 0$且$m - 4 = 0$，解得$n = 3$，$m = 4$。
则$n - m = 3 - 4 = -1$，所以$(n - m)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
因为$m ≥ 4$，所以$9m ≥ 36$，则$7 - 9m ＜ 0$，故$|7 - 9m| = 9m - 7$。
原等式可化为：$9m - 7 + (n - 3)^2 = 9m - 7 - \sqrt{m - 4}$。
移项整理得：$(n - 3)^2 + \sqrt{m - 4} = 0$。
因为$(n - 3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{m - 4} ≥ 0$，所以$n - 3 = 0$且$m - 4 = 0$，解得$n = 3$，$m = 4$。
则$n - m = 3 - 4 = -1$，所以$(n - m)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} =\_\_\_\_\_\_(a ≥ 0, b ≥ 0)$.
思考 $\sqrt{ab}$ 什么情况下可转化为 $\sqrt{a} · \sqrt{b}$？
填空 $\sqrt{2} · \sqrt{6} =$；$\sqrt{3} · \sqrt{5} · \sqrt{2} =$.
思考 $\sqrt{ab}$ 什么情况下可转化为 $\sqrt{a} · \sqrt{b}$？
填空 $\sqrt{2} · \sqrt{6} =$；$\sqrt{3} · \sqrt{5} · \sqrt{2} =$.
答案
$\sqrt{ab}$；$2\sqrt{3}$；$\sqrt{30}$
解析
根据二次根式乘法法则，$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0, b ≥ 0$），当$a ≥ 0, b ≥ 0$时，$\sqrt{ab}$可转化为$\sqrt{a} · \sqrt{b}$。计算$\sqrt{2} · \sqrt{6}$时，根据法则可得$\sqrt{2×6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。计算$\sqrt{3} · \sqrt{5} · \sqrt{2}$时，先根据法则计算$\sqrt{3} · \sqrt{5}=\sqrt{15}$，再与$\sqrt{2}$相乘得$\sqrt{15×2}=\sqrt{30}$。
