例1 如图,用围棋子按某种规律摆成的一行“七”字,按照这种规律摆下去,第$n$个“七”字中的围棋子的个数是多少？

[解答] 因为第1个图形有棋子$1 + 4×1 + 2 = 7$(个),
第2个图形有棋子$1 + 4×2 + 3 = 12$(个),
第3个图形有棋子$1 + 4×3 + 4 = 17$(个),
…
所以第$n个图形中有棋子1 + 4n + (n + 1) = 5n + 2$(个)。

由题意，第1个“七”字中的围棋子的个数为：
$1+4× 1+2=7$，
第2个“七”字中的围棋子的个数为：
$1+4×2+3=1+8+3=12$，
第3个“七”字中的围棋子的个数为：
$1+4×3+4=1+12+4=17$，
$\dots$
第$n$个“七”字中的围棋子的个数为：
$1+4n+(n+1)=1+4n+n+1=5n+2$。
所以第$n$个“七”字中的围棋子的个数为$(5n+2)$个。

例2 观察右面图形的规律。
求当$n = 24$时,图形中的“$○$”的个数与“$·$”的个数差。

[解答] 因为当$n = 1$时,“$·$”的个数是$3 = 3×1$；
当$n = 2$时,“$·$”的个数是$6 = 3×2$；
当$n = 3$时,“$·$”的个数是$9 = 3×3$；
当$n = 4$时,“$·$”的个数是$12 = 3×4$；
…
所以第$n$个图形中“$·$”的个数是$3n$。
又因为当$n = 1$时,“$○$”的个数是$1 = \frac{1×(1 + 1)}{2}$；
当$n = 2$时,“$○$”的个数是$3 = \frac{2×(2 + 1)}{2}$,
当$n = 3$时,“$○$”的个数是$6 = \frac{3×(3 + 1)}{2}$,
当$n = 4$时,“$○$”的个数是$10 = \frac{4×(4 + 1)}{2}$,
…
所以第$n$个图形中“$○$”的个数是$\frac{n(n + 1)}{2}$。
所以图形中的“$○$”的个数与“$·$”的个数差为$\frac{n(n + 1)}{2} - 3n$。
当$n = 24$时,$\frac{n(n + 1)}{2} - 3n = 228$。

228

解答
1. “·”的个数规律
当$n=1$时，个数为$3=3×1$；
当$n=2$时，个数为$6=3×2$；
当$n=3$时，个数为$9=3×3$；
当$n=4$时，个数为$12=3×4$；
故第$n$个图形中“·”的个数是$3n$。
2. “○”的个数规律
当$n=1$时，个数为$1=\frac{1×(1+1)}{2}$；
当$n=2$时，个数为$3=\frac{2×(2+1)}{2}$；
当$n=3$时，个数为$6=\frac{3×(3+1)}{2}$；
当$n=4$时，个数为$10=\frac{4×(4+1)}{2}$；
故第$n$个图形中“○”的个数是$\frac{n(n+1)}{2}$。
3. 差值计算
“○”与“·”的个数差为：$\frac{n(n+1)}{2}-3n$。
4. 当$n=24$时
$\frac{24×(24+1)}{2}-3×24=\frac{24×25}{2}-72=300-72=228$。