20. (9 分)“浮沉子”最早是由科学家笛卡儿设计的.小华用大塑料瓶(大瓶)和开口小玻璃瓶(小瓶)制作了如图甲所示的“浮沉子”.装有适量水的小瓶开口朝下漂浮在大瓶内的水面上,拧紧大瓶的瓶盖使其密封,两瓶内均有少量空气.将小瓶视为圆柱形容器,底面积为 $ S $,忽略其壁厚(即忽略小瓶自身的体积).当小瓶漂浮时,简化的模型如图乙,小瓶内空气柱的高度为 $ h $.手握大瓶施加适当的压力,使小瓶下沉并恰好悬浮在如图丙所示的位置.将倒置的小瓶和小瓶内的空气看成一个整体 A,A 的质量为 $ m $,水的密度为 $ \rho_水 $, $ g $ 为已知量,求:
(1) 图乙中 A 所受浮力的大小.
(2) 图乙中 A 排开水的体积.
(3) 图乙和图丙中小瓶内空气的密度之比.

(1) $ mg $；(2) $ \frac{m}{\rho_{水}} $；(3) $ 1:1 $

(1) 因为A漂浮，浮力等于重力，所以A所受浮力大小为 $ F_{浮} = mg $。
(2) 由阿基米德原理 $ F_{浮} = \rho_{水}gV_{排} $，可得排开水的体积 $ V_{排} = \frac{F_{浮}}{\rho_{水}g} = \frac{mg}{\rho_{水}g} = \frac{m}{\rho_{水}} $。
(3) 小瓶内空气质量 $ m_{空} $ 不变，密度 $ \rho = \frac{m_{空}}{V} $，故密度之比等于体积反比 $ \frac{\rho_{乙}}{\rho_{丙}} = \frac{V_{丙}}{V_{乙}} $。
图乙中空气体积 $ V_{乙} = Sh $；图丙中小瓶悬浮，浮力仍为 $ mg $，排开水体积不变 $ V_{排} = \frac{m}{\rho_{水}} $，因忽略小瓶体积，排开水体积等于空气体积 $ V_{丙} = \frac{m}{\rho_{水}} $。又由图乙漂浮时 $ V_{排} = \frac{m}{\rho_{水}} = V_{乙} $，即 $ Sh = \frac{m}{\rho_{水}} $，故 $ V_{丙} = V_{乙} $，所以 $ \frac{\rho_{乙}}{\rho_{丙}} = 1 $。