1. 已知菱形的面积为 12 cm²，若其一条对角线是 6 cm，则另一条对角线的长为cm.

4

设菱形的另一条对角线长为 $d$ cm。
根据菱形面积的计算公式，面积 $S = \frac{1}{2} × d_1 × d_2$，其中 $d_1$ 和 $d_2$ 是菱形的两条对角线长度。
题目给出 $S = 12$ cm² 和 $d_1 = 6$ cm。
将这些值代入公式，得到：
$12 = \frac{1}{2} × 6 × d$。
解这个方程，得到：
$d = 4$。

2. 如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AC 的中点. 若 EF = 5，则 CD 的长是.

$10$

因为 $E$ 和 $F$ 分别是 $AB$ 和 $AC$ 的中点，
所以 $EF$ 是 $△ ABC$ 的中位线。
根据中位线性质，$EF = \frac{1}{2}BC$。
已知 $EF = 5$，
所以 $BC = 2 × 5 = 10$。
因为四边形 $ABCD$ 是菱形，
所以 $CD = BC = 10$。

3. 如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形 ABCD，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 ∠BCD 的大小(菱形的边长不变). 当 ∠BAC = 26°时，∠ADC 的度数为.

128°

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD//BC，∠ADC=∠ABC。∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=26°。∴∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-26°-26°=128°。∴∠ADC=∠ABC=128°。

4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B，C 在坐标轴上. 若点 C 的坐标为 (2,0)，∠D = 60°，则点 D 的坐标为.

(4, 2√3)

∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，AD//BC，∠D=∠B=60°。
∵点A、B、C在坐标轴上，点C(2,0)，设B在x轴负半轴，A在y轴正半轴，设B(-m,0)，A(0,n)，则BC=OB+OC=m+2。
∵AD//BC且BC在x轴上，∴AD//x轴，D点纵坐标与A相同为n，设D(p,n)，则AD=p=BC=m+2。
∵∠D=60°，AD=CD，∴△ADC为等边三角形，AC=AD=m+2。
AC长度：√(2²+n²)=m+2；AB长度：√(m²+n²)=m+2。
联立方程：√(m²+n²)=m+2 ①，√(4+n²)=m+2 ②。
①²-②²得：m² - 4 = 0，m=2（m＞0）。
代入①：√(4+n²)=4，n²=12，n=2√3。
AD=p=m+2=4，∴D(4,2√3)。

5. 证明菱形的一条对角线平分这一组对角.
已知：如图，AC 是菱形 ABCD 的一条对角线.
求证：.

已知：如图，AC是菱形ABCD的一条对角线。
求证：AC平分∠DAB和∠DCB。
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AD//BC，AB//CD（菱形的定义和性质）。
∴∠DAC=∠BCA，∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。
在△ADC和△ABC中，
AD=AB，DC=BC（菱形的四条边都相等），
AC=AC（公共边），
∴△ADC≌△ABC（SSS）。
∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA（全等三角形的对应角相等）。
即AC平分∠DAB和∠DCB。
结论：菱形的一条对角线平分这一组对角。

6. 提升题 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，P，Q 分别是边 BC，线段 OD 上的点，连接 AP，QP，AP 与 OB 相交于点 E.
(1) 如图①，连接 QA，当 QA = QP 时，试判断点 Q 是否在线段 PC 的垂直平分线上，并说明理由；
(2) 如图②，若 ∠APB = 90°，且 ∠BAP = ∠ADB，求证 PB = PC.

(1) 点Q在线段PC的垂直平分线上。理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴对角线BD垂直平分AC。
∵Q在BD上，∴QA=QC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵QA=QP，∴QP=QC。
∴点Q在线段PC的垂直平分线上。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，AD//BC，BD平分∠ABC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BAP=∠ADB，∴∠BAP=∠DBC，设∠DBC=α，则∠ABC=2α（BD平分∠ABC）。
在△APB中，∠APB=90°，∠BAP=α，∴∠ABP=180°-90°-α=90°-α。
∵∠ABP=∠ABC，∴2α=90°-α，解得α=30°，∴∠ABC=60°。
在Rt△APB中，∠BAP=30°，∴BP=AB/2（30°角所对直角边等于斜边一半）。
∵菱形ABCD中AB=BC，∴BP=BC/2，即P为BC中点，∴PB=PC。