7. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ A = 30°$，$AC$ 的垂直平分线分别交 $AC$，$AB$ 于点 $D$，$F$，过点 $B$ 作 $DF$ 的垂线，垂足为 $E$。若 $BC = 2$，则四边形 $BCDE$ 的面积是()

A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$4$
D.$3\sqrt{3}$

7. A

8. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90°$，$AB = 6$，$AC = 8$，$P$ 是边 $BC$ 上的一个动点，过点 $P$ 分别作 $PD ⊥ AB$ 于点 $D$，$PE ⊥ AC$ 于点 $E$，连结 $DE$，则 $DE$ 长度的最小值为。

8. $\frac{24}{5}$ 【解析】$\because ∠ BAC = 90°$，$ AB = 6 $，$ AC = 8 $，$\therefore CB = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10 $。$\because PD\bot AB$，$ PE\bot AC $，$\therefore ∠ PDA = ∠ PEA = 90° $，$\therefore$ 四边形 $ ADPE $ 是矩形。连结 $ AP $（图略），则 $ DE = AP $。由垂线段最短可得，当 $ AP\bot BC $ 时，线段 $ AP $ 的长度最小，此时 $\frac{1}{2}· BC· AP = \frac{1}{2}· AB· AC $，$\therefore AP = \frac{24}{5} $，$\therefore DE $ 长度的最小值为 $\frac{24}{5} $。

9. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $OA$，$OB$，$OC$，$OD$ 的中点。求证：四边形 $EFGH$ 是矩形。

9. 证明：$\because$ 矩形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$\therefore OA = OB = OC = OD $。又 $\because E$，$ F $，$ G $，$ H $ 分别是 $ OA $，$ OB $，$ OC $，$ OD $ 的中点，$\therefore EO = FO = GO = HO $，$\therefore$ 四边形 $ EFGH $ 是平行四边形，$ EG = HF $，$\therefore$ 四边形 $ EFGH $ 是矩形。

10. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$BC = 5$，点 $E$，$P$ 分别在 $AD$，$BC$ 上，且 $DE = BP = 1$。
（1）求 $BE$ 和 $EC$ 的长，并判断 $△ BEC$ 的形状。
（2）证明：四边形 $EFPH$ 是矩形。
（3）求四边形 $EFPH$ 的面积。

10. 解：（1）$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，$\therefore AD// BC$，$ AD = BC = 5 $，$ CD = AB = 2 $，$∠ BAD = ∠ ADC = 90° $。$\because DE = BP = 1 $，$\therefore AE = AD - DE = 5 - 1 = 4 $。在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 和 $ \mathrm{Rt}△ DEC $ 中，由勾股定理得 $ BE = \sqrt{AB^{2} + AE^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5} $，$ EC = \sqrt{CD^{2} + DE^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5} $。$△ BEC $ 为直角三角形，理由如下：$\because BE^{2} = 20$，$ CE^{2} = 5 $，$ BC = 5 $，$\therefore BE^{2} + CE^{2} = 25 = BC^{2} $，$\therefore ∠ BEC = 90° $，$\therefore △ BEC $ 为直角三角形。（2）证明：$\because AD// BC$，$ AD = BC $，$ ED = BP = 1 $，$\therefore AE = PC $，$\therefore$ 四边形 $ APCE $，四边形 $ DEBP $ 均为平行四边形，$\therefore AP// CE$，$ BE// PD $，$\therefore$ 四边形 $ EFPH $ 为平行四边形。由（1）可知，$∠ BEC = 90° $，$\therefore □ EFPH $ 为矩形。（3）由（2）可知，四边形 $ EFPH $ 为矩形，$\therefore ∠ EHP = ∠ EFP = 90° $，$\therefore BE\bot AP$，$ DP\bot EC $。在 $ \mathrm{Rt}△ ABP $ 中，$ AB = 2 $，$ BP = 1 $，$\therefore AP = \sqrt{AB^{2} + BP^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5} $，$\therefore BH = \frac{AB· BP}{AP} = \frac{2× 1}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $，$\therefore EH = BE - BH = 2\sqrt{5} - \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{8\sqrt{5}}{5} $。在 $ \mathrm{Rt}△ HBP $ 中，由勾股定理得 $ PH = \sqrt{BP^{2} - BH^{2}} = \sqrt{1^{2} - ( \frac{2\sqrt{5}}{5} )^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $，$\therefore S_{\mathrm{矩形}EFPH} = EH· PH = \frac{8\sqrt{5}}{5}× \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{8}{5} $。