16. (★★★)如图，在 $ Rt△ABC $ 中，$ ∠C = 30° $，$ AB = 5 $，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点 D，E 运动的时间是 $ t $ s($ t ＞ 0 $).过点 D 作 $ DF ⊥ BC $ 于点 F，连接 DE，EF.
(1) 求证：$ AE = DF $.
(2) 四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 $ t $ 值；如果不能，请说明理由.
(3) 当 $ t $ 为何值时，$ △DEF $ 为直角三角形？请说明理由.

(1)见解析；(2)能，t=10/3；(3)t=5/2或t=4。

(1) 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=5，∴AC=2AB=10。点D运动速度为2单位/s，t秒后CD=2t。在Rt△DFC中，∠C=30°，DF=CD·sin30°=2t·1/2=t。点E运动速度为1单位/s，t秒后AE=t，∴AE=DF。
(2) 能。∵AE=DF且AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE//DF，四边形AEFD为平行四边形。若为菱形，则AE=AD，AE=t，AD=AC-CD=10-2t，∴t=10-2t，解得t=10/3。∵0＜10/3＜5，∴t=10/3时，四边形AEFD为菱形。
(3) 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，E(0,5-t)，D((5-t)√3,t)，F((5-t)√3,0)。
①∠EDF=90°：DE²+DF²=EF²，即[3(5-t)²+(2t-5)²]+t²=4(5-t)²，化简得4t²-10t=0，t=5/2（t=0舍去）。
②∠DEF=90°：DE²+EF²=DF²，即[3(5-t)²+(2t-5)²]+4(5-t)²=t²，化简得10t²-90t+200=0，t=4（t=5舍去）。
③∠DFE=90°：DF²+EF²=DE²，解得t=5（三点共线，舍去）。
综上，t=5/2或t=4时，△DEF为直角三角形。

17. (★★)如图，已知锐角 $ △ABC $ 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M，N 分别是线段 BC，DE 的中点.
(1) 求证：$ MN ⊥ DE $；
(2) 若 $ ∠ABC = 75° $，$ ∠ACB = 40° $，连接 DM，ME，求 $ ∠DME $ 的度数.

(1) 见证明；(2) 50°

(1) 证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵M是BC中点，∴在Rt△BDC中，DM=1/2BC；在Rt△BEC中，EM=1/2BC，
∴DM=EM，△DME是等腰三角形，
∵N是DE中点，∴MN⊥DE（等腰三角形三线合一）。
(2) 解：
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-75°-40°=65°，
∵DM=BM，∴∠MBD=∠MDB=75°，
∴∠DMB=180°-2×75°=30°，
∵EM=CM，∴∠MCE=∠MEC=40°，
∴∠EMC=180°-2×40°=100°，
∵B，M，C三点共线，∴∠DMB+∠DME+∠EMC=180°，
∴∠DME=180°-30°-100°=50°。

18. (★★) 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 的直线分别交 $AD$ 和 $BC$ 于点 $E,F,AB = 4,BC = 6$，则图中阴影部分的面积为【 】

A.$8$
B.$12$
C.$16$
D.$20$

B

矩形 $ABCD$ 是中心对称图形，对角线 $AC$ 和 $BD$ 的交点 $O$ 是矩形的对称中心。
所以，$△ EOD$ 和 $△ FOB$，$△ AOE$ 和 $△ COF$，$△ AOB$ 和 $△ COD$，$△ AOD$ 和 $△ BOC$，都是对称的，面积相等。
阴影部分的总面积等于矩形面积的一半。
矩形 $ABCD$，$AB = 4$，$BC = 6$，其面积为：
$S_{ABCD} = AB × BC = 4 × 6 = 24$。
所以阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{24}{2} = 12$。